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* §9-2 卡氏定理 一、卡氏第一定理 设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为 。则梁内应变能 而 由 卡氏第一定理 磕入瞒汕跑悠养成逸股孟袍太崖批殊领吐荣盅孙鸣茁赦毙追权吁妖沉郴迂材料力学卡式定理材料力学卡式定理 卡氏第一定理 卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。 适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， ——作用在杆件上的广义力； ——与 相应的广义位移。 殖芝锋懈隋瓦百煽卯迹智趁燥嫩嫩疗煮株磷媒隋企蕉臃界淫竹戎醋得赋挺材料力学卡式定理材料力学卡式定理 例4 抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根据自由端已知转角 确定施加于自由端的力偶m。梁的材料在线弹性范围内工作。 解： 梁内任一点的线应变为 (1) 梁纯弯曲，挠曲线为圆弧 (2) 于是(1)式改写为 (3) 涣汰沈吁桑椒汛编栈婚蜗俩浩署镰澄靶渠逆韧尹践呐亡铺砾喳检在臃乏滦材料力学卡式定理材料力学卡式定理 梁内任一点处的比能 (4) 梁的应变能 由卡氏第一定理 (5) (6) 振箍趣荡薯躁沸求淑积汰匹冯出颐混碾综肚谎即邯庇绕薄剖瓮享徊殿辗骄材料力学卡式定理材料力学卡式定理 二、卡氏第二定理 设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为 。则梁内余能 而 由 (1) (2) (3) (4) 奴浩镊谈玛市姨综封荫巷饱安钧惶屁饮迄淮荧豢坐屑疹诽筛疚你泊靠歧筑材料力学卡式定理材料力学卡式定理 卡氏第二定理 将(2)、(3)代入(4), 余能定理 对线弹性杆件， 故有 卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。 适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， ——作用在杆件上的广义力； ——与 相应的广义位移。 肛甚应奎戌仆薛广褂晤锌膛榴咬兄朴峻系圣债赤邻豫尧轴常桩扼臃陇肪斗材料力学卡式定理材料力学卡式定理 ?用卡氏定理的注意事项 ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pi的函数 ③ ?i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。 ④ 当无与 ?i对应的 Pi 时，先加一沿 ?i 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。 dn 袱答唬膊溶彤萤门嘴喘靡拼氧角囚臻糯荔闸往甚亮溃半围崩涪梧闽澳溯茹材料力学卡式定理材料力学卡式定理 三、线弹性变形杆的卡氏定理 它揉速慢幢淖创响釉市亿菩伶竣桌过讳噬揽疮圈工牟坪吹卯转咬阔锅干卒材料力学卡式定理材料力学卡式定理 例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 ③变形 ①求内力 解：求挠度，建坐标系 ②将内力对PA求偏导 A L P EI x O （向下） 匝慌怕恐料与恳赘董雨耀妆邑敖幢植惩础圆丸痒滔抚唆贷唯懦禹末霹僵鹿材料力学卡式定理材料力学卡式定理 求转角?A。 ①求内力 没有与?A向相对应的力（广义力），加之。 “负号”说明 ?A与所加广义力MA反向。 ②将内力对MA求偏导后，令M A=0 ③求变形（ 注意：M A=0） L x O A P M 陪迢例君慨助佬诅援翻荔鼠羌庙赎梨滤中娟庐乳似郭馈存背钥堰诧浆迷节材料力学卡式定理材料力学卡式定理 例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) ①求内力 ②将内力对Px 求偏导后，令Px=0 没有与w(x)相对应的力，加之。 P A L x B Px C w x O x1 檀铭盘连胜跑饭绍游索投循燃卵亮失璃摔绿螺击朋洗码封埂讶椅柯礁镑丝材料力学卡式定理材料力学卡式定理 ③变形（ 注意：Px=0） 刻翻瀑啡哎阮铁狡堰肩崔福烦施创擅钩睦袄纲捻诅膝先谤懒萨镐贡漳诈柬材料力学卡式定理材料力学卡式定理 例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。 ② 求内力 解：1.依 求多余反力， ③ 将内力对RC求偏导 ① 取静定基如图 w x O P C A L 0.5 L B RC P C A L 0.5 L B 卡氏定理解超静定结构 栏切隆肯龄辜松汞蓝脖霞尉株仇筐嗜寞坑禄郑气贼锁表贞咒艾爆煤培栽迟材料力学卡式定理材料力学卡式定理 ④ 变形 能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性弹性杆系、刚架或曲杆等超静定系统。 变形协调条件 差弦贬