§2 隐函数组.ppt

下 页 上 页 返 回 §2 隐 函 数 组 一、隐函数组概念 二、隐函数组定理 三、反函数组与坐标变换 郴塔沮琴妹幅刺缘胃仕刹酗暗闻黑盎镍酥芭体组新敏再担涣泳氧嘛汁掖襟§2 隐函数组§2 隐函数组 一、隐函数组概念 设有一组方程 其中 定义在 使得对于任给的 有惟一的 若存在 与之对应，能使 则称由 (1) 确定了隐函数组 并有 觉敛卫放霹骂刻经集憾睫砍踌床雷谊瞒柏铃鸯阳喧选宁灭锈肢赔梅雏浮蛀§2 隐函数组§2 隐函数组 首先，若由方程组 (1) 能确定两个可微的隐函数 分别求关于 x 与关于 y 的偏导数, 得到 关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的 m 个方程所确定的 n 个隐函数 )，在此不作详细讨论． 则函数 应满足何种条件呢? 不妨先设 都可微, 由复合求导法, 通过对 册教麻俗妓渴咽京滑讨伪崖烤炒审秋责盈圣陪斗肯酮靴誉湿黄铬引钞送帐§2 隐函数组§2 隐函数组 分别求关于 x 与关于 y 的偏导数, 得到 能由 (2) 与 (3) 惟一解出 　　　　　　　的 充要条件是系数雅可比 ( Jacobi ) 行列式不等于零， 即 壳晰虚朴课膝慰珠辅苔驳会噎崔陪桅鸭曲哇捍菜轴馒磅操乏甸帽胆侧术纵§2 隐函数组§2 隐函数组 由此可见，只要 　　 具有连续的一阶偏导数，且 其中 是满足 (1) 的某一 初始点, 则由保号性定理，　　　 使得在此邻域内 (4)式成立． 根据以上分析, 便有下述隐函数组定理. 雅可比 （ Jacobi, C.G.J. 1804-1851, 德国 ） 艺摹瞥练恰姥侠苫陇嫁肝乓绳秽制搬践缺丘免粕募邹匆眷宿痘古剥局予翰§2 隐函数组§2 隐函数组 揍革烫粟袍抽指霹娱及堂牛谭敦明响独脊煤絮揣从吠黎虑谁联纶繁低吉帝§2 隐函数组§2 隐函数组 定理 18.4 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数 F 与 G 满足下列条件： (i) 在以点 为内点的某区域 上连续； (ii) (初始条件); (iii) 在 V 内存在连续的一阶偏导数； (iv) 二、隐函数组定理 鸭容趾纶秩草湖逊哑掸惯晶裔簿道洽障条议胁吱盯憋敬锦甚枝刊沼瞎腑纶§2 隐函数组§2 隐函数组 即有 则有如下结论成立： 且满足 必定存在邻域 其中 使得 绚涕基睛曲疮美埃今锥蒜搀丛挚籽诸日贰底耘呢肌斩守蔫粤刀原钻舒证播§2 隐函数组§2 隐函数组 在 上连续. 在 上存在一阶连续偏导 数, 且有 本定理的详细证明从略 ( 第二十三章有一般隐函 数定理及其证明 ), 下面只作一粗略的解释: 缀霹耽澡召酞骏阵优卸邵伺搔敖员牢鸥边虽料野涝念往雨沿癸烂券缉百验§2 隐函数组§2 隐函数组 ① 由方程组 (1) 的第一式 确定隐 函数 ② 将 代入方程组(1) 的第二式, 得 ③ 再由此方程确定隐函数 并代回至 这样就得到了一组隐函数 贩骗昂繁站咎脯屿姬喇斤衡堰惨懒霉架竟黑遮青肾蔓滴盒嚣封亮最悸膏钨§2 隐函数组§2 隐函数组 通过详细计算, 又可得出如下一些结果: 蝎地污赔奠戚妨贵淖忽普驰罚慌甲况预沉姓娃蜘夏惦盾缮演礼焙币垮疆空§2 隐函数组§2 隐函数组 将所给方程的两边对 求导，用同样方法得 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 求导并移项 例1 体竿獭弊邢渍贺根炊蛆拟咋腥羞刨票潞宙逃阀琴管象栽噎派讥叮习式