第五篇电磁学.ppt

第十一章 静电场 + + 1.电势空间变化率(方向导数) 二.电势梯度 dl为沿某方向 的微小距离,对 应两等势面的电 势差为dU dl U U+dU E·dl =U1–U2 =U–(U2+dU) =–dU E –dU =E·dl θ =Edlcosθ dU/dl =–Ecosθ =–El 电势对某方向的空间变化率等于 电场强度在该方向投影的负值 (1)电势空间变化率随方向而变; (2)空间变化率绝对值的最大值沿 过该点等势面的法线方向. 2.电势梯度 gradU 是矢量 方向为电势变化最快的方向, 大小 [dU/dl]max =dU/(dlcosθ) =dU/dn gradU =?U =(dU/dn)n =(dU/dn) (icos?+jcosβ+kcos?) =idU/(dn/cos?) +jdU/(dn/cosβ) +kdU/(dn/cos?) =(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k 1.5 电势梯度 电势对某方向的空间变化率等于 电场强度在该方向投影的负值 (1)电势空间变化率随方向而变; (2)空间变化率绝对值的最大值沿 过该点等势面的法线方向. 2.电势梯度 gradU 是矢量 方向为电势变化最快的方向, 大小 [dU/dl]max =dU/(dlcosθ) =dU/dn gradU =?U =(dU/dn)n =(dU/dn) (icos?+jcosβ+kcos?) =idU/(dn/cos?) +jdU/(dn/cosβ) +kdU/(dn/cos?) =(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k 1.5 电势梯度 3.电势梯度与场强的关系 由 dU/dl=–El 得 Ex=–?U/?x Ey=–?U/?y Ez=–?U/?z E=–[(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k] E=–gradU 电场强度等于电势梯度负值. =–?U 三.场强与电势的关系 积分关系 = E·dl U= E·dl 微分关系 E=–gradU =–?U 例1.(P75 例3.7)利用场强梯度关系,计算电偶极子场中的场强. 解: U=p·r/(4πε0r3) 3.电势梯度与场强的关系 由 dU/dl=–El 得 Ex=–?U/?x Ey=–?U/?y Ez=–?U/?z E=–[(?U/?x)i+(?U/?y)j+(?U/?z)k] E=–gradU 电场强度等于电势梯度负值. =–?U 三.场强与电势的关系 积分关系 = E·dl U= E·dl 微分关系 E=–gradU =–?U 例1.(P75 例3.7)利用场强梯度关系,计算电偶极子场中的场强. 解: U=p·r/(4πε0r3) p =pi r=xi+yj r2=x2+y2 =[p/(4πε0)](x/r3) ?r/?x =?[(x2+y2)1/2]/?x =(1/2)(x2+y2)1/2–12x =x/r ?r/?y =y/r Ex=–?U/?x =–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?x =–[p/(4πε0)] [(1/r3) +x (–3r–4) ?r/?x] =–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5] =[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5] =p(2x2–y2)/(4πε0r5) Ey=–?U/?y =–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?y =–[p/(4πε0)] x(–3r–4)?r/?y =[p/(4πε0)]3xy/r5 =3pxy/(4πε0r5) 1.5 电势梯度 p =pi r=xi+yj r2=x2+y2 =[p/(4πε0)](x/r3) ?r/?x =?[(x2+y2)1/2]/?x =(1/2)(x2+y2)1/2–12x =x/r ?r/?y =y/r Ex=–?U/?x =–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?x =–[p/(4πε0)] [(1/r3) +x (–3r–4) ?r/?x] =–[p/(4πε0)][(1/r3)–3x2/r5] =[p/(4πε0)][(2x2–y2)/r5] =p(2x2–y2)/(4πε0r5) Ey=–?U/?y =–?{[p/(4πε0)](x/r3)}/?y =–[p/(4πε0)] x(–3r–4)?r/?y =[p/(4πε0)]3xy/r5 =3pxy/(4πε0r5) 1.5 电势梯度 E=(Ex2+Ey2)1/2 =[p/(4πε0r5)][(2x2–2)2+(3xy)2]1/2 =[p/(4πε0r5)](4x4+5x2y2+y4)1/2 =[p/(4πε0r5)][(x2 +y2)(4x2+y2)]1/2 =[p/(4πε0r4)](x2