第五章薄板弯曲.ppt

第五章 薄板弯曲 5.1 薄板的弯曲变形 如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸，当h/l15时，可认为是薄板。 板内厚度中点构成的平面称中面。 板件一般常驻有垂直于中面的载荷（横向载荷），在载荷作用下，板面发生弯曲，中面由平面变为曲面，称为挠曲面。 以未变形的中面为xy坐标面，中面各点沿z轴的横向位移以w表示，称为挠度，如图5-1所示。 一般挠度为中面各点坐标的函数，即 w=w(x,y) 称为挠曲面方程。 板内各点应变与其z坐标呈正比关系。 应力与z坐标也成正比，沿板厚度方向线性变化。 正应力σx,σy在板的横截面上将合成为弯矩，剪应力将合成为扭矩。分别表示如下： 5.2 四节点的矩形薄板单元 对于薄板弯曲，可以只研究其中面的变形； 对于矩形板单元，可以只研究一个矩形平面，但是，此单元上一点实际上代表着一个长度为板厚的法线段。 按基本假设，此法线段长度不变，其位移应包括中心点的挠度w和法线绕x、y轴的转角θx和θy 。 因而板单元任一节点i应有3个位移分量。 图5-3为矩形板单元，规定位移的正方向： w i沿z轴方向； 转角θxi和θyi绕x、y轴按右手螺旋规定正方向。 节点位移 形状函数 12个待定系数对应于单元的12个自由度。 前3项为常数项及线性项，反映出中面平板无弯曲的刚体位移。 3个二次项经二阶微分后给出常曲率，反映出中面变形的3种常应变形式。 因此，前6项满足了单元的完备性要求。 含有完全的三次多项式，其四次项是不完全的，此种近似的挠度函数具有三次多项式的精度。 不完全四次项的两项是对称的，这使单元对x及y轴具有同等的变形能力；当坐标轴转90o时，单元不会表现出不同的弯曲挠度形式。 在x=常数及y=常数的单元边界上，其挠度都只含三次多项式。由后面的分析可见，这种假定的挠度函数可以保证单元间挠度的连续性。 对于图5-4所示的矩形单元，其任一节点i的形状函数矩阵[Ni}是一个1X3的行阵，表达如(5.12)(p80) 单元刚阵 单元的内力 如已解出板结构的全部节点位移{δ}，则对任意的e单元都可以找出相应的单元节点位移{δ} e ，再应用应变矩阵[B]和薄板弯曲的弹性矩阵[D]，即可得到单元的内力 板弯曲的单元刚度矩阵，其计算式与一般单元刚阵（如平面问题）完全一样，只是这里应代入板弯曲的弹性系数矩阵[D][式(5.5)]和板弯曲的应变矩阵[B][式(5.13)]。 节点载荷 板结构上如受有集中荷载，一般在划分单元时宜将此力作用点划分为网格中的一个节点，此集中力可直接加入结构的总载荷列阵{Q}中。 如板面承受有面分布的横向载荷p(x,y)，则应按式(3.10)逐个单元将分布力等效分配到各节点上。 5.3 薄板弯曲的相容性问题 薄板弯曲的总势能表达包含w的二阶导数。 完备性要求：所假定的单元位移模式应能实现任意的刚体位移和常曲率状态； 相容性要求：所假定的单元位移模式保证单元间挠度及其一阶导数都是连续的。 (5.7a)的假定位移模式满足完备性要求； 但该假定的位移模式不满足相容性要求，其在各单元边界上挠度的导数 或 是不连续的。 例如：在单元ij边界y=b (常数) 上 有 其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四个条件wi,wj, 及 来确定，故此时变形的挠度和沿x方向的转角是连续的。 而对边界上的转角 有 式中的Bk, k=0,1,2,3 也需要四个条件才能确定，但现在只有 二个条件，不足以确定Bk，故转角 不能唯一确定。此单元相容性条件并不满足。 我们知道相容性只是充分性条件； 不满足相容性条件的单元不保证收敛性； 但实践证明，这种单元的收敛性还是很好的。为什么？ 薄板问题总结 薄板问题的定义：几何构形和受力情况的特点； 描述此类问题的坐标系的定义； 广义应力的定义： 广义应变的定义： 广义应力应变关系（5－4）； 单元刚度阵的推导过程； 其形函数的特点：对所设位移模式挠度函数w的连续性的要求； 外载荷向节点的等价移置； 边界条件的定义； 收敛性要求的完备性，相容性满足情况（对所讲四节点矩形薄板单元）。 吃雏观拥淡桑夯土忽盈煌篓逊炊战浆瓦蚜甩炒着目守仗芹埂饮沦场础霓活第五章薄板弯曲第五章薄板弯曲 弦悔僚实嗅厄之凉嫁煽怖洪贩亨诈丝碘怒伎俺症钒腺束邱笋胞翁貉莱逮讳第五章薄板弯曲第五章薄板弯曲 任一单元e形成的单元节点载荷为 其中[N]为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11)决定。 嘴透冉铸墒睛氮字抢敞鲤急乍谊灶锄屯幅移蓟糟钢氢集彭汝猿籍耪荚辣稠第五章薄板弯曲第五章薄板弯曲 当横向分布载荷为常值p时（均布载荷），对图5-5所示的矩形板单元，其分配得到的单元节点载荷