第五章概率论.ppt

证 由于 由契比雪夫不等式可得 在上式中令n??, 并注意到概率不能大于1, 即得 证: 因为nA~B(n,p), 有 nA=X1+X2+...+Xn其中X1,X2,...,Xn相互独立, 且都服从以p为参数的(0-1)分布因而E(Xk)=p, D(Xk)=p(1-p) (k=1,2,...,n) 得 在客观实际中有许多随机变量, 它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的. 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的. 这种随机变量往往近似地服从正态分布. 这种现象就是中心极限定理的客观背景. 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x~B(20,0.5)时, x的概率分布图 泊松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候泊松分布也近似服从正态分布, 下面是l=30时的泊松概率分布图. 在c2(n)分布中, 如果自由度n很大, 也可以认为是多个自由度为1的相互独立的c2(1)分布的随机变量的和, 因此也近似服从正态分布. 下面是c2(60)的概率密度曲线. 例 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1,2,...,20), 设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间(0,10)上服从均匀分布, 记V=V1+V2+...+V20, 求P(V105)的近似值. V~N(100, 1000/6). 于是 即有 P{V105}?0.348. 例 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击, 纵摇角大于3o的概率为p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角大于3o的概率是多少? E(X)=30000, D(X)=20000,因此, 根据中心极限定理, 近似有X~N(30000, 20000), 则 例  对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量, 设一个学生无家长, 1名家长, 2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1)以Xk(k=1,2,...,400)记第k个学生来参加会议的家长数, 则Xk的分布律为 则E(Xk)=1.1, D(Xk)=0.19 k=1,2,...,400. 而X=X1+X2+...+X400, E(X)=440, D(X)=76, X近似服从N(440, 76). 因此 (2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数, 则Y~B(400, 0.8),得 例： 进行某种试验，设成功的概率为3/4，以X表示首次成功所需试验次数，求X的分布列及X取偶数的概率。 解 X的分布列为 P(X=K)=P（前K-1试验是失败，第k次试验是成功） P(X=偶数)=P(X=2)+P(X=4)+… 例．设随机变量X服从泊松分布，且已知P(X=1)=P(X=2),求P(X=4). 由条件知 例 设随机变量X的分布函数为 求（1） （2）X的密度 解（1） （2） 例 设K在[0,5]上服从均匀分布，求方程 4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。 解：方程有实根的充要条件是 16K2-16(K+2) 0 例 测量到某一目标的距离产生的随机误差X（米）具有概率密度 求在三次测量中，至少有一次误差绝对值不超过30米的概率。 解：误差的绝对值不超过30米的概率为 设Y为三次测量中，误差绝对值不超过30米的次数，则Y~B(3,P)，所求概率为 期望值不存在的例子 　例 （期望不存在的例） 设 　服从Cauchy分布，即 的密度函数为 况捍绒酒支乞迎弓井砧咳僵饥聘作条卵坑荔茹焙尹径营景捣郡躯瓢于倡例第五章概率论第五章概率论 例 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 竭烂吾滔哦酞泼泰低禹淹纳杖指住声殷茹醒结萝摊酵莱岭泌官凋蝶晾烫囊第五章概率论第五章概率论 例 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率. 解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数 , X ~ B (6000,1/6 ) 例1 皿异倒棺拭枪镑阂婉作辊溉颠邹