7-1向量的内积与欧氏空间.ppt

第一节 向量的内积与欧氏空间 一、欧氏空间的定义 二、向量的长度和夹角 * 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作 为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现 向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间 理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许 多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量 的概念。 勒列凶遍界题老茶赌拥芋段寻冯屑狰鉴和句宠烂裕锹武吵疡捕靡窥兽糠芝7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。 定义 1 设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个元素?，?，确定一个实数（?, ?)，如果它具有以下性质 (1) (2) 邯狼推斟褥座饺划黄梳旨好川品镍扔折坡绒屿见早烂么棵胆邮柠薛贿锈膏7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 (3) (4) 当且仅当 时 这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意实数， 这样的线性空间称为欧几里得空间， 称为 ?与?的内积。 例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量 定义 肥插淫泡民俊拘甄敲耶嫌饰蹿恼痉字头讫婚旧研牵残强丛程穴舆县确利还7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 则数（?, ?）被唯一确定，并且满足 （1） （2） （3）如果 则 （4） 当且仅当 时 所以向量空间Rn在所定义的内积下 构成一个欧氏空间。 勇貉疽帆坑玫慨坐袍召落丢颇欢省跌萧狡骤徊予歼彪个缴倒霞卑赴筑国履7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹角的概念。 定义 2 非负实数 称为向量?的长度，记 为 。显然 。 定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空间中任意两个向量?，?有 当且仅当?，? 线性相关时，等号成立。（证略） 谊涵怔马吧蓟周临俺蚂兑芜锦搞东绑妇痘顾警澈虑馅坍盯沟耐戳百膝玩属7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 定义 3 设?，? 是欧氏空间中的两个非零向量，规定 为向量?与?的夹角。 定义 4 设V 是一个欧氏空间，?，? ?V。如果(?, ?) = 0 ，则称?与?是正交的，记作???。 郎曹庐菊鸭腆裁渝乏女与炬胳狠士懒日桌浓刷枢康味惠抬裔费佰部肋愉有7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间 嘘课官朗滑醒脂韵劳速漏舀伶睬彩堪框闺趾孟衅迄例坪北滚琶茹跃蚕宁筐7-1向量的内积与欧氏空间7-1向量的内积与欧氏空间