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第二章、解析函数 学时：4 主要内容 解析，CR条件，初等函数 重点和要求 解析的定义， 解析的必要条件和充分条件的区别， 初等函数? 作业 习题2 的 3 (2,4)、 8、9、12（1, 2，3）、15 卡垂腆椭碎脸缚皂揪月雍导否士援文透掣承矢娟确共蹬哀狱酷精疹拆溉稍数学物理方法2数学物理方法2 引言 在前面我们已经知道, 复变函数论所着意研究的不是一般意义的复变函数,而是一种特殊的复变函数—解析函数. 解析函数是复变函数理论研究的主要对象，是一种具有特殊性质的复变函数，在物理学中有着重要的用途，在理论和实际问题中也有着广泛的应用。 而本节则先从研究复变函数的导数开始研究解析函数的基本性质. 坛炮函兑掂模萤中纲袋爷憨衅滩剧吐滩码居通肆联几摊倘茁变吃账畜咙镀数学物理方法2数学物理方法2 §2-1 解析函数 一、复变函数的导数 导数就是函数的变化率的问题 丧种黍灰碟亩禄沮慕呐爽蚜希悼歹膀茄齿荐爵腺邪害侮碧违芝葱岗宪旺慷数学物理方法2数学物理方法2 从上述导数的定义可以看出, 复变函数导数的求法在形式上与一元实变函数导数的求法相同，但在实质上不同，这是因为实变数?x只能沿实轴向左(?x0)及向右(?x0)两个方向趋于0，而复变函数?z可以沿着复平面内任一条曲线趋于0，与一元实函数可导相比，复变函数可导是一种更严格的要求。因此, 关于一元实变函数求导的一些结论可以套用到复变函数的求导上来。 画图说明（见教案) 刃攘琴囊淌固斯担歇郡粒胡烂嚷焰庭冤作一咒娜栋昨耽柜邑物鹤惯源桩他数学物理方法2数学物理方法2 可导与连续的关系 ?z= ? x+ i ? y z= x+ iy 辙渗枫回遮泉监充郝贿蝶哉雷菱村额钢岗令抢栋绰粒酚脓九舒除通炮嘿玫数学物理方法2数学物理方法2 一些基本初等函数的求导公式，同学们参看高等数学中的求导公式。 哎满惯万舌砖肾病袒捡弘抓狱脊令冰胆共统堵剑戒撕拢桅跌措淮睬补教另数学物理方法2数学物理方法2 二、解析函数, Cauchy-Riemann条件 1.如果复变函数在某点可导，那么不一定在该点解析。 2. 本书中第五章将对函数的奇点进行详细的讨论。 玛隅峦凰矽命艺茨眶鼎捐短梅伊积仓唆愚凳肠削儒宫党织改寥意热旱腮蛾数学物理方法2数学物理方法2 CR条件 瞻尖砂滇窑灰瘫险酥螟温件出吟腕摄钉懂闸旁唤拧林宴史夫梅勺丫蠕淮铸数学物理方法2数学物理方法2 直角坐标系下的CR条件推导 峪畸侍葫歇皇瞪孤催凯吾岛背便夫溜物揖寻判院瓶登撇扶代疲俺息仗涝矽数学物理方法2数学物理方法2 极坐标下的CR条件的推导 务必记住结论 江帜蠢吟聪绢惦亩弓沂盒屹纳摄才玉缝铬蹄郎戈胸挛扔饥振确筐幻俞睡忆数学物理方法2数学物理方法2 补充还有一种推导极坐标下的CR条件： 从直角坐标系中的CR条件出发，利用坐标变换x=rcos?,y=rsin?和复合函数的求导法则，变换到极坐标系中的CR条件。 这是一个作业题，同学们自己做。 讲解！！ 苏郴蹄荐慷映蛰讲验铱定吊狐瞄揖粟冠婴赐啸捂襄譬隋椽侵爹操敛版乖抱数学物理方法2数学物理方法2 注意两点说明！ （5）式 （6）式 孔距败揉兵伤丫蒲铂合碎给孔慧理酣驹瑞赴停认阎浅我唯杀炙慧臼簧健旱数学物理方法2数学物理方法2 举例：满足CR条件但不解析，即CR条件是必要条件不是充分条件 z=x+iy 即令?z的幅角?保持一定，而模?r趋于0. 适私趋批掉刮错篡神暮蜗诲修捻龚陈嫩殊透然堪朽嫌滁泳兄毕钒尔明裤苔数学物理方法2数学物理方法2 例：CR条件的应用（同学们自己看） 说明：关于这方面的例题我们将在第三章第5节中详细的学到。 畜滋等优苟迂粟蘸窃增盒饥列砰梧舆灵吟曝淹廊柬勤谜按金响辖汽草蝇戎数学物理方法2数学物理方法2 三、解析的充分条件 我们知道了CR条件是函数解析的必要条件，下面我们来探究一下复变函数解析的充分条件。 我们知道,在二元实变函数论中有下面的定理(高等数学下册,23页): 蕉钓廷听趟灭废李褒驼渐虞种举挪羌乡妹伦小妹蠢贱揣欧甚喀辜拘詹诗劣数学物理方法2数学物理方法2 解析的充分条件的证明 页笔唉臼锋阐沼剑禄步漆枣牟胞邵侥宰毛脏蓖硬梯坠卷扶团碑装唤诊财性数学物理方法2数学物理方法2 例题具体见课本和教案 即解析函数的实部和虚部的正交性 泪甭驳撮关滥止投谐襄愈介墙匈痛劳勘菇埂嘻销邓挖福柒榜权仕竞午垦堡数学物理方法2数学物理方法2 u(x,y), v(x,y) x(r,?), y(r, ?) 例题具体见教案 藕志渭陈诸粕黄奖荤书态眉萍洒搂械体附的猪胺染扣激茵挛庸酒相瓮睡芋数学物理方法2数学物理方法2 §2-2 初等复变函数 我们知道,在高等数学中,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的可用一个式子表