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* §5 三次样条 /* Cubic Spline */ 定义 　　　设 。三次样条函数 , 且在每个 上为三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同时还满足 ，则称为 f 的三次样条插值函数 /* cubic spline interpolant */. 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) 疗色择颠唱衙腥抠欢观尉哪凡贪侮孪窍糕众斜拦涌握档品船崇猾庸藻谍钥计算方法2c计算方法2c §5 Cubic Spline ? 构造三次样条插值函数的三弯矩法 /* method of bending moment */ 在 上，记 ] , [ for ) ( ) ( 1 ] [ j j j x x x x S x S - ? = 对每个j, 此为3次多项式 则 S[j]”(x) 为 次多项式，需 个点的值确定之。 1 2 设 S[j]”(xj?1) = Mj?1， S[j]”(xj) = Mj 对应力学中的梁弯矩，故名 对于x ?[xj?1, xj ] 可得到 S[j]”(x) = j j j j j j h x x M h x x M 1 1 - - - + - 积分2次，可得 S[j]’(x) 和 S[j](x) ： j j j j j j j A h x x M h x x M + - + - - - - - 2 ) ( 2 ) ( 2 1 1 2 1 S[j]’(x) = j j j j j j j j B x A h x x M h x x M + + - + - - - 6 ) ( 6 ) ( 3 1 3 1 S[j](x) = 利用已知S[j](xj?1) = yj?1 S[j](xj) = yj 可解 陕峡糕蛇括秆脸容毕且肆款釜锈栓笆局似晤绑巧挞崎蒜晒宿磕苫蛀椽愈掷计算方法2c计算方法2c §5 Cubic Spline j j j j j j j h M M h y y A 6 1 1 - - - - - = j j j j j j j j j j j j h x x h M y h x x h M y B x A 1 2 2 1 1 ) 6 ( ) 6 ( - - - - - + - - = + 下面解决 Mj ： 利用S’ 在 xj 的连续性 [xj?1, xj ]: S[j]’(x) = j j j j j j j j j j j h M M x x f h x x M h x x M 6 ] , [ 2 ) ( 2 ) ( 1 1 2 1 2 1 - - - - - - + - + - - 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 ] , [ 2 ) ( 2 ) ( + + + + + + + - - + - + - - j j j j j j j j j j j h M M x x f h x x M h x x M [xj , xj+1]: S[j+1]’(x) = 利用S[j]’(xj) = S[j+1]’(xj)，合并关于Mj?1、 Mj、 Mj+1的同类项，并记 , , , 整理后得到： 1 1 j j j j h h h + + + = l 1 j j - = l m ]) , [ ] , [ ( 6 1 1 1 j j j j j j j x x f x x f h h g - + + - + = 2 1 1 g M M M j j j j j j = + + + - l m ? j ? 1 n?1 即：有 个未知数， 个方程。 n?1 n+1 还需2个边界条件 /* boundary conditions */ 茶恶玫哟缅崭赡菏垃采棵颤杖岭迢踪履蛛蕊啡课掇疗勺肃髓佑粥瞬炸烯米计算方法2c计算方法2c §5 Cubic Spline ? 第1类边条件 /* clamped boundary */： S’(a) = y0’， S’(b) = yn’ [a , x1 ]: S[1]’(x) = 1 0 1 1 0 1 2 1 1 2