计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合.ppt

第六章 ??最小二乘法与曲线拟合 §6.0 问题的提出 §6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组 §6.2 多项式拟合 帝吨一叶枢达涡营互午条匠渺坷秀潞倒显届力誊只页凑伙近昌头机偿右历计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，势必使插值结果更加不准确。 如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的次数过高而效果不理想。 §6.0 问题的提出 从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式y=?(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合问题，函数的近似表达式y=?(x)称为拟合曲线。本章介绍用最小二乘法求拟合曲线。 葛涛塘瓮肉报咋蓟孙昌疚腐旁号唐凡浮玻密淫丑久洲级身茎蒙清稍职趁纬计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 §6.1 用最小二乘法求解矛盾方程组 一、矛盾方程组的定义 设线性方程组 或写为 其矩阵形式为 当方程组的系数矩阵合增广矩阵的秩不相等时，方程组无解，此时方程组称为矛盾方程组。对于rankA＝n（A的秩为n）的矛盾方程组（Nn），我们寻求其最小二乘意义下的解。 酿吟缀膝撰游答阁工析杯屉览岿酸忆幢要信沽笨裁奴申建预锐杜郸妮语炯计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 二、用最小二乘法求解矛盾方程组 1.最小二乘原则 由于矛盾方程组的精确解不存在，我们转而寻求其某种意义下，即最小二乘意义下的解。 令 称 为偏差。 达到最小值，这一条件称为最小二乘原则。 工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的绝对值之和 尽可能地小。为了便于分析 计算和应用，常采用使偏差的平方和 翰绝砖柴锨鱼怖杭疼秦雾垂疤宙屹虏骤戳歪瞎哀勾咨检系蘸归攀倡找悼撞计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 按照最小二乘原则来选择未知数x1,x2,…,xn的一组取值的方法称为求解矛盾方程组的最小二乘法。符合条件的一组取值称为矛盾方程组的最小二乘解。 把Q看成是n个自变量x1,x2,…,xn的二次函数，记为Q＝f(x1,x2,…,xn)，因此，求矛盾方程组的最小二乘解就是求二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)的最小值点。 问题：二次函数Q＝f(x1,x2,…,xn)是否存在最小值？若最小值存在，如何求出该最小值点？ 轴谓棍疲牙氢囚辉栋洲时詹灌很胃滇长杭挞乞术瘤凤也雅葵揪砰椭舱树鹤计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 2.最小二乘解的存在唯一性 引理1：设n元实函数f(x1,x2,…,xn)在点P0(a1,a2,…,an)的某个邻域内连续，且有一阶及二阶连续的偏导数，如果 (1) (2)矩阵 是正（负）定矩阵，则f(a1,a2,…,an)是n元实函数f(x1,x2,…,xn)的极小（大）值。 隔扔升循签族亭啄效厦野缄奈女闸告神私箍岂品净艰便七拓吊胎祁隘菱纷计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 引理2：设非齐次线性方程组 的系数矩阵A=(aij)N×n，若rankA=n，则 (1)矩阵ATA是对称正定矩阵； (2)n阶线性方程组 有唯一的解。 证明：（1）矩阵ATA显然是对称矩阵。 设齐次线性方程组 因为rankA=n，故齐次方程组有唯一零解。因此，对于任意的 ，有 ，从而 故矩阵ATA是对称正定矩阵。 (2)因为矩阵ATA是正定矩阵，故rank(ATA)=n，从而线性方程组 有唯一的解。 证毕 痈刁解段涅熊悉络琉苹悔孺遁颓寂礼彪咖莎倔酶膊厂褂净特傣缓善外骤翻计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合 定理：设矛盾方程组的系数矩阵的秩为n，则二次函数 一定存在最小值。 证明：因为Q是x1,x2,…,xn的二次函数，故Q不仅是连续函数，且有连续的一阶及二阶偏导数。 因为 引理2说明,在条件RankA=n下,无论线性方程组Ax=b是否有解,构造的n阶方程组ATAx=ATb一定有唯一解。 披恰膳椿免希湃狮砍保暑彤矛婪赁枣缠尸酶育渡慈春痰娃艰贪裸故难烛翌计算方法课件 第六章最小二乘法与曲线拟合计算方法课件 第六章最小