1.5初等函数一基本初等函数及其图像1．函数（常数）称为幂函数．幂.docVIP

1.5　初等函数 一 基本初等函数及其图像 １．函数（常数）称为幂函数． 幂函数的定义域及其性质与的取 值有关，但任意在内都有意义． 为了便于比较，我们只讨论的情形，而 时的情形可根据函数的奇偶性确定． 当时，函数的图象通过原点(0,0)和点(1,1)， 在内单调增加且无界； 当时，图象不过原点，但仍过点(1,1)，在内单调减少、无界，曲线以坐标轴为渐近线．图1-8中画出了的情形． ２．函数称为指数函数，其定义域为R，由于无论取何值，总有且，所以它的图象全部在轴上方，且通过点(0,1)．也就是说它的值域是． 当时，函数单调增加且无界，曲线以轴负半轴为渐近线； 当时，函数单调减少且无界，曲线以轴正半轴为渐近线．如图1-9所示． ３．函数称为对数函数，其定义域为，图象全部在轴右方，值域是R．无论取何值，曲线都通过点(1,0)． 当时，函数单调增加且无界，曲线以轴负半轴为渐近线； 当时，函数单调减少且无界，曲线以轴正半轴为渐近线．如图1-10所示． 对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． ４．三角函数．三角函数包括下面六个函数： (1)正弦函数．其定义域为R，值域为[-1,1]，奇函数，以为周期，有界．如图1-11． (2)余弦函数．其定义域为R，值域为[-1,1]，偶函数，以为周期，有界．如图1-12． (3)正切函数．其定义域为，值域为R，奇函数，以为周期，在每一个周期内单调增加，以直线为渐近线．如图1-13． (4)余切函数．其定义域为，值域为R，奇函数，以为周期，在每一个周期内单调减少，以直线为渐近线．如图1-14． (5)正割函数．其定义域为，值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，偶函数，以为周期，在区间和内单调增加，在区间和内单调减少，以直线为渐近线．如图1-15． (6)余割函数．其定义域为，值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)，奇函数，以为周期，在区间和内单调增加，在区间和内单调减少，以直线为渐近线．如图1-16． ５．反三角函数．常用的反三角函数有四个： (1)反正弦函数．是正弦函数在单调区间上的反函数，因此称作反正弦函数，其定义域是[-1,1]，值域是，奇函数，单调增加，有界．如图1-17． (2)反余弦函数．是余弦函数在单调区间上的反函数，因此称作反余弦函数，其定义域是[-1,1]，值域是，单调减少，有界．如图1-18． (3)反正切函数．是正切函数在单调区间内的反函数，因此称作反正切函数，其定义域是Ｒ，值域是，奇函数，单调增加，有界．如图1-19． (4)反余切函数．是余切函数在单调区间内的反函数，因此称作反余切函数，其定义域是R，值域是，单调减少，有界．如图1-20． 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等五类函数统称为基本初等函数． 二 复合函数 先看一个例子．设，则任意，有；又由，有，即通过中间媒介u，y是x的函数，称是的复合函数．必须注意，并不是任意两个函数都可以复合，如在实数范围内就不能复合．因为对任何实数x，都没有按给定的对应关系与之对应的y值．函数的定义域不能是空集． 定义1.4 设函数的定义域为U，而的定义域为，，则对任意的，通过，变量y有确定的值与之对应，得到一个以x为自变量、y为因变量的函数，该函数称为和的复合函数．记作是它的定义域，u称为中间变量． 如自由落体运动的物体，其动能，速度，它们的复合函数． 复合函数还可以有多个中间变量．复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的．函数的“复合”和函数的“四则运算”是由简单函数构造复杂函数的重要方法．反之，许多复杂函数又可以把它们“分解”成简单函数的复合或四则运算的结果．以后我们常用这种“分解”的方法简化对函数的讨论．因此，能够熟练地分析复杂函数的构造并化成简单函数的复合或四则运算是非常重要的． 例7 　设函数求． 解 ． 例8 设函数，求． 解 由，的表达式， ；． 例9　已知，，，将表示成的函数． 解　． 例10 分别指出函数是由哪些简单函数复合而成的． 解 是由，复合而成的； 是由，复合而成的． 三 初等函数 定义1.5 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的、可用一个式子表示的函数，称为初等函数． 例如，等都是初等函数．高等数学中讨论的函数绝大多数都是初等函数． 2π π - -1 O y x 1 图1-11 图1.8 -π 2π - 1 - -1 O y x