2007年考研数学二真题及参考答案.docVIP

2007年研究生入学考试数学二试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当时，与等价的无穷小量是 （A） （B） （C） （D） [ ] （2）函数在上的第一类间断点是 （ ） （A）0 （B）1 （C） （D） （3）如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则下列结论正确的是： （A） (B) （C） （D） [ ] （4）设函数在处连续，下列命题错误的是： （A）若存在，则 （B）若存在，则 . （B）若存在，则 （D）若存在，则. [ ] （5）曲线的渐近线的条数为 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛. (D) 若 ，则必发散. [ ] （7）二元函数在点处可微的一个充要条件是 （A）. （B）. （C）. （D）. （8）设函数连续，则二次积分等于 （A） （B） （C） （D） （9）设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) (B) (C) . (D) . [ ] （10）设矩阵，则与 (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） __________. （12）曲线上对应于的点处的法线斜率为_________. （13）设函数，则________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程的通解为________. （15） 设是二元可微函数，，则 __________. （16）设矩阵，则的秩为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分) 设是区间上单调、可导的函数，且满足，其中是的反函数，求. （18）（本题满分11分） 设是位于曲线下方、轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域绕轴旋转一周所成旋转体的体积； （Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值. （19）（本题满分10分）求微分方程满足初始条件的特解 （20）（本题满分11分）已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求. （21） (本题满分11分) 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明：存在，使得. （22） (本题满分11分) 设二元函数，计算二重积分，其中. （23） (本题满分11分) 设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解. 1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当时，，，， 故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上，， 或. 所以应选（B） 【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 2…【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型. 【详解】函数在均无意义， 而； ； . 所以为函数的第一类间断点，故应选（A）. 【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断. 3……【分析