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2009届高考数学复习 数列综合测试 1．已知等差数列满足：公差(n=1,2,3,…) ①求通项公式； ②求证:+ ++…+ . 解: ∴ ②∵ ∴+ ++…+ 2．等比数列中，首项＞1，公比＞0，且，，． ()求；()若，求取最大值的值． （Ⅱ） 从而取最大值时，n=8或9 3.已知函数在(－1,1)上有意义, ＝－1,且对任意的,(－1,1),都有.(1)判断的奇偶性；　(2)对数列, (),求；(3)求证:. 解:(1)令,则,而,又令,(－1,1),则.　即,故为奇函数. 　(2). 　　是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故 =． 　（3） 　　．函数的最小值为且数列的前项和为． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数； （Ⅲ）若，求数列的最大项． 解：（Ⅰ）由 ，， 由题意知：的两根， （Ⅱ）， 为等差数列，，， 经检验时，是等差数列， （Ⅲ） 的一个焦点为, 且, 一条渐近线方程为, 其中是以4为首项的正数数列. （I）的通项公式;（II）对一切自然数N*）恒成立. 解：（I）,所以. 又由渐近线方程得,于是.∴数列是首项为4,公比为2的等比数列,从而,∴（n≥2）. 又,也符合上式,所以（n∈N*）.（II）,则, ∴,∴.即 不等式对一切自然数N*）恒成立. 6．已知曲线上有一点列，点在x轴上的射影是，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设四边形的面积是，求证： 解：（1）由得∵ ， ∴ ， 故是公比为2的等比数列 ∴.…………………………………………………………5分 （2）∵ ， ∴, 而 ， …………………8分 ∴四边形的面积为： ∴, 故.……………………………………………12分 的前项和为，又有数列满足关系，对， 有， (1)求证：是等比数列，并写出它的通项公式； (2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 解：（1）由，又 ，数列为等比数列，且 （2） 依题意，存在，使得数列为等比数列。 8．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）若，设求数列的前项和. 解：（1）由题意知;当n=1时， 当两式相减得（） 整理得：（） ∴数列{an}是为首项，2为公比的等比数列. ……………………………………（5分） （2） ① ② ①－②得 9．已知数列满足。 （1）求的通项；（2）设，求的前项和。 （1） ，∴∴当时，，又n=1时 2a1 =41-1得a1=3/2,∴ （2） 故是以为首项，为公比的等比数列∴ 10．已知数列{}的前项和为，满足关系式 (1)当为何值时，数列{}是等比数列； (2)在(1)的条件下，设数列{}的公比为，作数列{}使＝1，＝ (…)，求； 在(2)条件下，如果对一切∈N＋，不等式＋＜恒成立，求实数的取值范围． 10．解:(1)(2＋t)Sn＋1－tSn＝2t＋4　　　　① n≥2时，(2＋t)Sn－tSn－1＝2t＋4　　　②两式相减：(2＋t)(Sn＋1－Sn)－t(Sn－Sn－1)＝0， (2＋t)an＋1－tan＝0，＝．即n≥2时，为常数．当n＝1时，(2＋t)S2－tS1＝2t＋4，(2＋t)(a2＋a1)－ta1＝2t＋4，解得a2＝． 要使{an}是等比数列，必须＝．∴＝，解得a1＝2． (2)由(1)得，f(t)＝，因此有bn＝，即＝＋1，整理得＋1＝2(＋1)．则数列{＋1}是首项为＋1＝2，公比为2的等比数列，＋1＝2·2n－1＝2n， bn＝． (3)把bn＝，bn＋1＝代入得：＋＜，即c＞＋，要使原不等式恒成立，c必须比上式右边的最大值大． ∴＋＝＋＝＋＋，单调递减．∴＋的值随n的增大而减小，则当n＝1时，＋取得最大值4，因此，实数c的取值范围是c＞4． 11.已知函数满足且有唯一解。求的表达式；，＝，求的通项公式。 （３）记 ，数列｛｝的前ｎ项和为，求证 解：(1)由 即 有唯一解又 (2)由 又 数列是以首项为，公差为的等差数列 (3)由 = 12.设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直