专题讲座一范围与最值问题.doc

专题讲座一　范围与最值问题 ,[学生用书P52～P53]) 最值、范围问题是历年高考的热点问题，经久不衰．最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考查．解题的关键是不等关系的建立，其途径很多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数性质法，数形结合法等等．下面介绍一下函数与导数中的最值与范围问题． 　　　　　　　函数的最值 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等． 　(1)对a，b∈R，记max{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a＜b，))函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________； (2)已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，则函数y的最小值是________． [解析]　 (1)由|x＋1|≥|x－2|， 得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥eq \f(1,2). 所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x＋1|，x≥\f(1,2)，,|x－2|，x＜\f(1,2)，))其图象如图所示． 由图形，易知当x＝eq \f(1,2)时，函数有最小值，所以 f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＝eq \f(3,2). (2)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为t≥2， 所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， 所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 又f(t)的定义域为[2，＋∞)，故y的最小值是a2－2. [答案]　(1)eq \f(3,2)　(2)a2－2 [规律方法]　第(1)题是将问题转化为分段函数的最值问题后，再利用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是先画出图形，从而借助图形直观地解决问题．第(2)题首先利用换元法转化为二次函数，再利用二次函数的性质求最值，求解中要特别注意自变量的取值范围． 　　　　　　　实际问题中的最值 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值． 　(2015·江苏徐州检测)现有一张长为80 cm，宽为60 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)． (1)求出x与y的关系式； (2)求该铁皮盒体积V的最大值． [解]　(1)由题意得x2＋4xy＝4 800， 即y＝eq \f(4 800－x2,4x)，0＜x＜60. (2)铁皮盒体积V(x)＝x2y＝x2·eq \f(4 800－x2,4x) ＝－eq \f(1,4)x3＋1 200x， V′(x)＝－eq \f(3,4)x2＋1 200. 令V′(x)＝0，得x＝40， 因为x∈(0，40)时，V′(x)＞0，V(x)是增函数； x∈(40，60)时，V′(x)＜0，V(x)是减函数， 所以V(x)＝－eq \f(1,4)x3＋1 200x在x＝40时取得极大值，也是最大值，且最大值为32 000 cm3. 所以该铁皮盒体积V的最大值是32 000 cm3. [规律方法]　本题是求几何体体积的最值，求解思路是构建目标函数，再利用导数研究函数的最值． 　　　　　　　参数范围的确定 函数的最值多与参数范围结合命题，求最值时，多利用分类讨论思想，由最值问题求参数可转化为恒成立问题求解． 　(2015·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝eq \f(x＋a,x2＋3a2)(a≠0，a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a＝1时，若对任意x1，x2∈[－3，＋∞)，有f(x1)－f(x2)≤m成立，求实数m的最小值． [解]　f′(x)＝eq \f(－（x－a）（x＋3a）,（x2＋3a2）2). 令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－3a. (1)当a0时，f′(x)，f(x)随着x的变化如下表： x (－∞，－3a) －3a