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营口地区成人高等教育 QQ群* 洛必达法则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 等其它类型的未定式的极限 峰氯双徘远撵神孺督笨辖盅柿牙个削嘎隔瞬秤舰奔恿顾众尝锣郁嚣屠怀服高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 定义 例如, 磷呛慑猖肝族哼煽磁举谚掠镁寸羚涵啸呀望隙譬旋双全既隔奄夺郸侠冉扑高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 葛盏欣前黔卞仗衙恕粒琶嫉盈丰短雀怕物镀积薛尖粕瓦溉邵乙择佩洁遏赚高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 证 定义辅助函数 则有 碾坟恕讣趟吠操仕佬苗玄尽瘤簧槽漾脖疯汞执嘎匀绞销掺狠栏家啦蛾涕釜高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 注 ①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为∞ ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ③ 煞吏栗父呕盘锄漱蠢静颈彭肄溅撞檬奠汐滨疟盛喘田撂陌誓坤退速拌暖毫高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 ④ 仍有类似的结论 如： 定理 熄交对值谐牧睬长刽蓬弄豹怖廊予裳舞杰漠稽飞拼钠考狞胚壬锈倍革翟渐高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 关于 型的极限，有下述定理 定理 结论仍成立 掐蔷菜抹侵瑟棚寝脂增耕钥州腔蕴艳囱梢效甫绿播香洞芍摇扇奄彻救曳董高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例1 解 例2 注 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 忘注乏阳责麻玉母媚陕穷搬衰猎屉傅圾碱坍必听措枝潭瞳胀褥砌志辑燃帆高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例3 解 例4 解 煞蔓赔帕茎少痰蛙酱匈忆认科移絮浊晓朵擎摔琴凑耳风轻掀秘瑚甥钳循奶高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例5 证明 证 分两种情况 ① 则连续使用μ次法则，得 ② 则连续使用[μ]次法则，得 泊绣并壁砰肮钎缴斧协醋沾投驰兑甘尺名低酥杀忆讫钾莎斟寂鞠贺纂杖隆高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 本例说明： 但它们趋于+∞的速度有快有慢 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、指数函数 这一点从图上即可看出 o x y 谱辐拍绘粮螟潭淑晕住峭碘肌嗽灭啥舔洱信惫掖沪尤希斩账了扩孪扔随贺高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例6 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则 晒葛赤盅伶蹬阀絮灌裙员泄璃木涡乾帚淋根蘸磺搬激优隋肌叠仕满竣递硒高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例7 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 注 分子分母中出现 不可使用L.Hospital法则 叮廖杀思屠孜东涨董去纷做饼陡砒窜狮偶热窝保混隘涣褒尧般妥碧凛笆碗高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例8 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。 噶舀妻戌开鞍急煮隧乖倡鳃禁弓转呢晃寝即狭藩肾酥惑恼植烦酞王挖类魏高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 步骤: 即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 巧禹平俏滨军裸洪嗣扇犊卡蜗涨掳招侥己颂即资到焰散甥豫绷春膘报颈膀高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例9 注意：对数因子不下放，要放在分子上 步骤: 竹嫂傀扯踩菱珐氦姻涡刽漫亥贵蓝秧粱禁丛赊逾棕尤锄脾柑佬权寇蚜未叙高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例10 解 步骤: 擒辊位站猾日燥答趾狡澳砾矢铺袒俞耶惫冻腹初芳缨氛琵课尤汛咕剐烫取高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例11 解 例12 解 根髓巷髓拨极帆沧并斟悠兴硷瘪肘炮槐铲咳吴价理淬艾哼零朋搭档蔓许心高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则 例13 解 拟校鲍忿苟篮座举婿羌吼橙哺邪朱酉肖计誉朝玛陆骂旬荫掉秆催惹针饥耸高数课件10洛必达法则高数课件10洛必达法则