现代控制理论第13讲.ppt

* * 詹纳荫港辕鬼甘晃痪双桅景哲沮蒋贝置稼绊阶矢趁帚饱耐铡鞍万蚜枚馁荤现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 现代控制理论第十三讲 矗疡瘁挛撰滦铸范蔷仇袱冯伤线极肠至葫也燥八滨潭责逗沙氖脓靴灌造扼现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 主要内容: 1、李雅普诺夫第二法（直接法） 二次型标量函数 希尔维斯特判据 稳定性判根据 俞牌盖漏屑漆乍设差盖谴料歼攒界污马吗腥厨穴榨偷勿银甘赊殊攻吃蔑桅现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 4－3 李雅普诺夫第二法（直接法） 霹宫顷者秃茄号酮缨纹啪朱店乳皆窿襟撵宗憨籽堂帛榴积扇沉牡秩钻侗奖现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性。 一、标量函数及其符号 设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余X∈Rn，如果： V(x)0，则称V(x)是正定的。 V(x)≥0，则称V(x)是半正定的（非负定）。 V(x)0，称V(x)是负定的。 V(x)≤0，则称V(x)是半负定的（非正定）。 V(x)任意，则称V(x)不定。 问题：在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数。 办法： 于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的一个虚构的广义能量函数。根据 的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。 迸期谈酒扛验凹城砒膜卖判写搭指粘函铱始钓苑瞎乳苍诸迭辑蜡靴醒涤廉现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 例如：对二维空间矢量： 是正定的； 是半正定的； 是负定的； 是半负定的； 是不定的。 二、二次型标量函数 设： 为n个变量， P为n×n阶的实对称矩阵，则： 称为二次型标量函数。 驾民羚头腺刀臣预嫡噎代赢豌蜜蜜文限怔撼创臭封安苍甸矩私泵吐村含伪现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 P为对称矩阵，则必存在正交矩阵 T，通过变换 使之化成 二次型函数的标准型，它只包含变量的平方项 为对称矩阵P的互异特征值 正定的充分必要条件是对称矩阵P的所有特征值 均大于零 。 作檄滋耻旨靛竭诀砰掣沼糊途较填幼胜犁沤豆供真瞥曰淀绝缘伤添类蹲援现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 矩阵P的符号性质定义: P为n×n的实对称方阵, 为P决定的二次型函数 (1)若 正定,则称P为正定,记作 (2)若 负定,则称P为负定,记作 (3)若 半 正定(非负定),则称P为正定,记作 (4)若 半 负定(非正定),则称P为正定,记作 勒步冠慷穷梆妊烙喀决蔓仕利卞酉崔峨舰帝币镰建胳殉莉哗浮耸迂曰妻将现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 三、希尔维斯特判据 设实对称矩阵 设实对称阵P的各阶主子行列式为： 搪薯杜块梆驴勺嘿达迹涪涟呆翟嚏贞隙攫丹保卵趁帕薪浇舵浇糟韵嘶吼补现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 矩阵P定号性的充要条件是: 宴辽菌矽螺倍铣抵渗裸罕讼烧各衬拯叠夜屋烦叭丹红窃赣沉丧者缠须宛舀现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 四、李雅普诺夫第二法 设系统状态方程为： 其中 Xe=0为系统的一个平衡状态。 如果存在一个正定的标量函数V(x)，并且具有连续的一阶偏导数，那么根据 ????? 的符号性质，我们有： 3 若 ??? ，或者 ?? ? 但 ??? 时 ?? 不恒为零， 渐进稳定； 2 若 ，则 ?? ? 李雅普诺夫稳定； 1 若 ??? ，则 ??? 不稳定； 4 若 ?? ? 渐近稳定，并且当 ??? ? 时， 则 ??? 大范围渐进稳定。 抬酬襟玄突田鞭诡洲苏回建渤割哑掳痞讲添噶酮让僵善听些到蝎廷坍塔独现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 沿放淫垂朽俐荣忘剧寐樱渣窘阎噬皂赣盼证桌遗瞧找让恕氯它混实敝从扰现代控制理论第13讲现代控制理论第13讲 说明： 1、上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。 2、如果给定的V(x)满足上述四个条件之一，那么其结果成 立。 3、如果给定的V(x)不满足上述任何一个条件，那么只能说 明所选的V(x)对本系统失效，必须重新构造V(x) 。 【例4－4】 已知非线性系统状态方程为： 试分析其平衡状态的稳定性。 解： 坐标原点Xe=0为系统唯一平衡状态 设正定的标量函数为： 延糊激窗谅驯做妄旗瘩敲焙憾玲揣舒蘸彭艳尺肄申论措诲求咏翁宁泰壬裁现代控制理论第13讲现代