五等分圆周与正五角星.doc

作正五角星与五等分圆周问题 先看几个问题： 已知线段AB，在线段AB上求作一点C,使 . 已知线段AB，求作△ABE，使AB=AE,且∠BAE=36°. 用直尺和圆规作一个正五角星。 对于前述㈠、㈡两个问题，相信大家都会；一个是对线段进行 黄金分割，一个是利用黄金分割作出黄金三角形。现在把两个问题化作一个问题给出作法如下： 1.作BD= AB且BD⊥AB,连接AD；2.以D为圆心，以BD为 半径画弧，交AD于点P. 3.以A为圆心，以任AP为半径画弧，交AB于点C. 则。4. 分别以A为圆心AB为半径、以B为圆心AC为半径画弧，两弧交于点E。则∠BAE=36°。 ABC A B C D P A B C E 此时点C为线段AB的黄金分割点，即，利用勾股定理很容易证明；至于△ABE中，若AB=AE,且则∠BAE=36°，△ABE为黄金三角形，后边有证明过程，这里就不说了。现在来说一说怎么用尺规作图画正五角星的问题。 一说到作五角星，人们首先会想到五等分圆周，即作一个圆，找出它的五等分点，然后每隔一个点连一条线段，就可得到一个正五角星。恐怕很少有人会想到作正五角星与黄金三角形有什么关系。本文拟就如何五等分圆周来谈一谈作黄金三角形和作正五角星之间的关系。 先来说一说五等分圆周问题。初一数学中，有五等分圆周的方法：先画一个圆，再任意画一条半径；因为360÷5=72,所以，只要以这条半径为一边，以圆心为顶点，顺次画五个72度的角，就可以把圆周五等分。但这种方法理论上说是可以的，而实际操作起来却很困难。因为用量角器量出的角度都是近似值。往往结果是画最后一个角的时候会发现这一个角与其他四个角大小不一样。 到了初三年级时，学习了正多边形和圆之后，这个问题又被重新提了起来。再次提到五等分圆周时，初一年级时的那种方法就自然被否定了。那么，现在又如何五等分圆周呢？ 目前为止，五等分圆周的方法虽然有很多，但是无论哪种方法，先不论作图步骤的繁简，都不能用初中阶段的学生能理解的方法明确地说明作图的理论根据。因为尺规作图，是一种理论上比较严谨的作图方法，每一种作图方法都应有严密的逻辑证明；正因为如此，再加上工具简单、可操作性又比较强，所以尺规作图才成为人们比较喜欢的方法，而被广泛的应用于各种作图。如果有一种作图方法，不能应用数学的观点给出严密的理论证明，即使是作的再精确，也不能被人们广泛接受。就五等分圆周来说，最常见的有两种。一种作法是： 以 O 为圆心, a 为半径作一个圆.⑴ 以 a 为半径在圆上相继取相等的弧 AB, BC, CD 和 DE.⑵ 以 AC 为半径, A 和 D 分别为圆心, 作弧相交于 F.⑶ 以 OF 为半径, A 为圆心作弧交圆 O 于 G.⑷ 仍以 OF 为半径, 分别以 C 和 E 为圆心, 作弧交于 H.GH 即是内接正五边形的边长, 以圆上任意一点开始, GH 为半径, 相继在圆上取 5 个点, 这 5 个点就可以五等分圆.这种作图的证明方法过于繁琐、深奥，一般人不太能看懂。 还有一种方法普遍的被九年级的师生们广泛接受，作法如下: 1、作圆O;2、作直径MN；3、过O作MN的垂线AO交圆O于；4、作OM的中点P；5、以P为圆心，PA长为半径作圆弧交直径ＭＮ于Ｑ；6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ长为半径作圆弧，交圆O于C，D。7、边结ABCDE，多边形ABCDE是正五边形 MNO M N O A P Q B C D E 图① 作法并不复杂，但证明却很麻烦，证明如下： 设图O的半径为1，根据以上作法，则OP=，PQ=PA=，QO=PQ=，所以AQ== 另外，如图2圆O的半径为1，ABCDE为圆O的内接正五边形，S是AB的中点，则，，故边长。 如果我们能够证明则上述作法就是五等分圆周的尺规作图方法，是精确作法。下面我们推导， 因为，所以 。由倍角公式，有，即是下述三次方程的根。因式分解得 故方程有下述三个根： ，由于舍去，故方程的唯一正根是，所以，进而，由于根据作法 ，而已证， 所以图①中的是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE是正五边形，此种作法是精确作法。 以上作法步骤简单，证明也比较严谨，但是，对于初中一线教师来说，它有一个致命的弱点，那就是，证明过程无法给学生讲解。那么，有没有一种方法，既能精确地五等分圆周，而又能用初三年级的学生看得懂的方法给出理论上的证明呢？答案是肯定的。作法如下： 1、作圆O；2、作直径MN；3、过O作MN的垂线PQ交圆O于P、Q.；4、作ON的中点G；5.以G为圆心，OG长为半径作圆弧交直径PG于H；6.分别以O为圆心PH长为半径、以Q为圆心OQ长为半径作圆弧，两弧交于点F; 7.连接Q F并延长交圆O与点A；