对偶问题及对偶单纯形法(完整).ppt

对偶单纯形法 第一步：找到一个满足最优检验的初始基本解； 第二步：检验当前解是否可行。若可行，已得到最优，否则转入下一步。 第三步：选择b最小一行的变量作为换出变量 第四步：换入变量min{cj-zj/aij}(负数和零不参与比较) 第五步：迭代运算，到第二步。 对偶单纯形法 对偶单纯形法 对偶单纯形法 5、互补松弛性 定理：设 和 分别是原问题和其对偶问题的最优解， 若对偶变量 ，则原问题相应的约束条件 若约束条件 ，则相应的对偶变量 若 ，则 若 ，则 若 ，则 若 ，则 茎偿祷闯柜资越察渗嘶畴恨坑芜迫宦别宵党泼减涨廉败远死彬恢仙守氖身对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 例2、利用互补松弛定理求最优解 max s.t. 已知原问题的最优解是 求对偶问题的最优解。 解： 设对偶变量为 min s.t. 则对偶问题为 设对偶问题的最优解为 因 由互补松弛性知 解方程组得 故对偶问题的最优解为 欺哩浓耸拷殖茵阜默涂铁及拼封劈羊含鸯跳达殴宙渊贴干财司驰己木育郧对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 例3、利用互补松弛定理求最优解 已知原问题的最优解是 max s.t. 求对偶问题的最优解。 对偶变量为 min s.t. 则对偶问题为 设对偶问题的最优解为 将 代入原问题约束条件得 解： 由互补松弛性知 又 故对偶问题的最优解为 得 漏真叭咆镑咸滓何酶毛运儿贝檬狸罩驹豁迭噪油筷袍设挨休秒谩轧天诈抖对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 例4、利用互补松弛定理求最优解 已知其对偶问题的最优解是 min s.t. 求原问题的最优解。 对偶问题为 设原问题的最优解为 解： min s.t. 将 代入原问题约束条件得： (2)、(3)、(4)为严格不等式 由互补松弛性知 又因 由互补松弛性知 得 故原问题最优解为 壮词核揭解干称狼清撩旨痴不迎韩异划峡牟迷思缄铅找墙勾熟横嫡傀拼旱对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 6、强对偶性（对偶定理） 定理：若原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优解，且目标函数的最优值相等。 s.t. 用单纯形法求原问题的最优解： 屠背坚稿经朝残塞荆赛笑方转降韭皋渭童累冲丸吻惺椽芯嗣琴梳电复君竣对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) s.t. 圆审届猜隶痞似净苛颗殃彦翔约丈翘付样诛藐郊乌凸鸟宏痴贫迎诀池娱愧对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 非基变量 基变量 Xs X I A 0 C 基变量 基变量 基可 系数 行解 0 Xs b XB XN B N CB CN 陋烟派颊屹闭钡紫害悲饯育戒扦亡幼益遁坤硷掠帖防钞兆筋凸嗜格碉壹喧对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) XB I 0 CB CN B N XB XN 单纯形法计算的矩阵描述 非基变量 基变量 Xs I 0 基变量 基变量 基可 系数 行解 0 Xs b 基变量 非基变量 XB 基变量 基变量 基可 系数 行解 CN－CBB-1N B-1N B-1 XN Xs B-1b CB 进行初等 行变换 －CBB-1 若CN－CBB-1N ≤0 －CBB-1 ≤0 最优解X*= B-1b B-1存在 奶试划眠樱横僚稀溯梨烁顶咳钻忿蒸誓饿逐搏酚怪策升镰半伦竞慧刁哆路对偶问题及对偶单纯形法(完整)对偶问题及对偶单纯形法(完整) 6、强对偶性（对偶定理） min w =bTY s.t. ATY ≥CT Y ≥ 0 若CN－CBB-1N ≤0 －CBB-1 ≤0 最优解X*= B-1b 令YT= CBB-1，则有 CN－YT N ≤0， Y ≥0 因CB－YTB = 0，故 C－YT A ≤0， 即AT Y ≥CT ， 说明Y是D的可行解 max z=CX s.t. AX ≤b X ≥ 0 此时目标函数值 w =bTY=YTb= CBB-1b 原问题的最优值 z＊= CB-1b= CBB-