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第五章 树 一、教学内容： 1、 树和森林的概念（树的定义、树的术语、性质及运算）； 2、 二叉树的定义、性质及运算； 3、 二叉树的存储结构（顺序、链式表示）； 4、 遍历二叉树 5、 树的存储结构；树、森林与二叉树的转换；遍历树；遍历森林 6、 哈夫曼树、哈夫曼编码。 二、教学要求： 1、了解树和森林的概念。包括树的定义、树的术语和性质； 2、熟练掌握二叉树的结构特性，熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范围； 3、熟练掌握二叉树的遍历方法及遍历算法； 4、熟悉树的各种存储结构及其特点，掌握树、森林与二叉树的转换方法 5、掌握建立哈夫曼树和哈夫曼编码的方法及带权路径长度的计算。 第五章 树 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 1 树的定义 定义 定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) 特点： 树中至少有一个结点——根 树中各子树是互不相交的集合 基本术语 结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)——结点拥有的子树数 叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~ 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 树的度——一棵树中最大的结点度数 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… 深度(depth)——树中结点的最大层次数 森林(forest)——m(m?0)棵互不相交的树的集合 图形表示法： 2 二叉树 定义 定义：二叉树是n(n?0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 基本形态 二叉树性质 性质1： 几种特殊形式的二叉树 满二叉树 定义： 性质 性质4： 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1?i?n)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是?i/2? (2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2i?n，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1?n，则其右孩子是2i+1 二叉树的存储结构 顺序存储结构 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 特点： 结点间关系蕴含在其存储位置中 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树 链式存储结构 二叉链表 3 遍历二叉树和线索二叉树 二叉树的遍历 方法 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点 按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点 算法 递归算法 线索二叉树的生成算法（算法6.6, 见教材P134） 线索二叉树的中序遍历算法（算法6.5, 参见教材P134） 4 树的存储结构 树的存储结构 双亲表示法 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 特点：找双亲容易，找孩子难 孩子表示法 多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根 结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D 结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d 孩子兄弟表示法（二叉树表示法） 实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点 特点 操作容易 破坏了树的层次 树与二叉树转换 森林转换成二叉树 将各棵树分别转换成二叉树 将每棵树的根结点用线相连 以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构 树和森林的遍历 树的遍历 遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列 常用方法 先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树 后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点 按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点 森林的遍历 从图7-24可知，n 个权值构造哈夫曼树需n-1次合并，每次合并，森林中的树数目减1，最后森林中只剩下一棵树，即为我们求得的哈夫曼树。 构造哈夫曼树的模拟演