2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）． （A） （B） （C） （D）a 1（乙）．如果，那么的值为（ ）． （A） （B） （C）2 （D） 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B） （C） （D） 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）． （A） （B）4 （C） （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）． （A） （B） （C） （D） 5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . 6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足， ，那么 的值为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为 一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两 点，若，则线段CE、BD的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个 实数根分别为，，那么 的值为 ． 8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 . 9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 . 9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径， AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC， 并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6， 则CF的长为 . 10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ． 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在