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数学建模 差分模型及层次分析建模方法 数学建模 数学建模 数 学 建 模 ——从自然走向理性之路 第十讲 差分模型 及层次分析建模方法 【主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型，减肥模型，层次分析方法 【主要目的】了解差分方法及层次分析方法在数学建模中的应用 差分模型 问 题  Thanks ! 第3层对第2层的计算结果 k 1 0.595 0.277 0.128 3.005 0.003 0.001 0 0.005 0 3.002 0.682 0.236 0.082 2 3 0.142 0.429 0.429 3 3.009 0.175 0.192 0.633 4 3 0.668 0.166 0.166 5 w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110 RI=0.58 (n=3), CIk 均通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.595?0.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T 一般地，设 x, y, z 分别表示方案层、准则层与目标层， 并已知 则 记 最终 二. 层次分析法的若干问题 ?正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？ ?怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ ?为什么用特征向量作为权向量？ ?当层次结构不完全时怎样用层次分析法？ 1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 定理1 正矩阵A 的最大特征根?是正单根，对应正特征向量w，且 正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。 定理2 n 阶正互反阵A的最大特征根? n , ? = n是A为一致阵的充要条件。 一致性指标 定义合理 2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均 列向量归一化 算术平均 精确结果: w=(0.588,0.322,0.090)T, ?=3.010 3. 特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应 成对比较 Ci:Cj (直接比较） aij ~ 1次比较强度 aij(2) ~ 2次比较强度 通过与所有Cs 的比较， 更能反映Ci 对 Cj 的强度。 体现多步累积效应 定理1 特征向量体现多步累积效应 ～ k次比较强度 4.不完全层次结构中组合权向量的计算 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 不完全层次结构 例: 评价教师贡献的层次结构 贡献O 教学C1 科研C2 P2 P1 P3 P4 P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不等 设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定 第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法 考察一个特例： 若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T P1~P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 ?不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 计算 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T ?用支配元素数目n1, n2 对w(2) 加权修正 再用 计算 w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T 层次分析法的优点 ▲系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）； ▲ 实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题； ▲简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。 层次分析法的局限 ▲囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案； ▲粗略——定性化为定量，结果粗糙； ▲主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。 * * 市场经济中的蛛网模型 现 象 供大于求 价格下降 减少产量 供不应求 价格上涨 增加产