随机过程一般描述平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功.ppt

一、随机过程一般描述 确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。 随机过程的数学定义： 设随机试验E的可能结果为ξ(t)，试验的样本空间S为{x1(t), x2(t)， …, xn(t),…}， xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)。 两层含义： 随机过程ξ(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程ξ(t)是大量样本函数的集合。 随机过程举例： 随机过程基本特征 随机过程的统计描述 设ξ(t)表示随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， ξ(t1)是一个一维随机变量。 一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率，即 F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］ 一维概率密度函数 n维分布函数： Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn) P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝ n维概率密度函数 随机过程的一维数字特征 数学期望 方差 随机过程的二维数字特征 自协方差函数 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝ 自相关函数 R(t1,t2)=E｛ξ(t1)ξ(t2)｝ 设ξ(t)和η(t)分别表示两个随机过程，互相关函数 Rξη(t1, t2)=E［ξ(t1)η(t2)] 二、平稳随机过程 统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。 设随机过程ξ(t),若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及τ为任意值，且x1, x2, …, xn∈R，有 fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn) =fn(x1, x2, …, xn; t1+τ , t2+τ , …, tn+τ ) 则称ξ(t)是平稳随机过程。 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布只与时间间隔τ有关。从而有 R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］ =R(t1, t1+τ)=R(τ) 广义平稳随机过程 平稳随机过程的定义对于一切n都需成立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数， 自相关函数是τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。  平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性， 称为“各态历经性”。 若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。 各态历经随机过程 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 三、 平稳过程的相关函数与功率谱 自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。 自相关函数定义：  R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］ 自相关函数主要性质： R(0)=E[ξ2(t)]=S--ξ(t)的平均功率 R(τ)= R(-τ) --偶函数 |R(τ)|≤ R(0) --上界 R(∞)=E2[ξ(t)] ---ξ(t)的直流功率 R(0)-R(∞)=σ2 ---ξ(t)的交流功率。 ξ(t)的任一样本函数的功率谱密度为 式中，FT(ω)是fT(t)的频谱函数；fT(t)是f(t)的短截函数；f(t)是ξ(t)的任一实现。 由于ξ(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 ξ(t)的平均功率S可表示成 由ξ(t)功率谱密度的定义，很难直接计算功率谱。确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即 利用二重积分换