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微分方程模型 微分方程模型 古尸的年代鉴定问题 伪造名画案 放射性核废料处理问题 流入--流出问题 人口问题 生物种群模型 兰彻斯特（Lanchester） 作战模型 一 古尸年代鉴定问题 二 放射性核废料处理问题 三 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案 四 流入--流出问题 讨论课 五 追线问题 六 最速降线问题 七 人口模型 简单模型 Malthus 模型 Logistic模型 人口问题 八 兰彻斯特（Lanchester） 作战模型 如果当人口较少时（相对资源而言）人口相对增长率可以 视为常数，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随 人口的继续增加而减少。为了使人口预报特别是长期预报 更好地符合实际情况，必须修改Malthus 模型中的人口相对 增长率为常数的假设。 3 Logistic模型（阻滞增长模型） 假设人口相对增长率随人口的增加而线性减少。 r 表示人口的自然增长率。 令Nm为人口的最大容纳量，那么 即 阻滞因子 Logisitic模型 求解 o N t N o N0 Nm Nm/2 tm 人口增长最快点 结论： 在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期， 过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。 ---Logisitic模型 调整 ，可使阻滞因子变大或缩小。 更复杂的人口模型 Gompertz模型 --------------- 人口模型的推广 放射性元素的衰变规律（检验名画的真伪，考古年代的判断） 经济领域（通货膨胀，利率，新产品的销售，广告宣传等） 动植物生长规律（96年的全国大学生数学建模竞赛题） 浓度的扩散（人体内药物的吸收，传染病的传播与流行等） Malthus 模型和 Logistic模型都是确定性模型，只考虑人口 总数的连续时间模型。在研究过程中还发展了随机性模型， 考虑人口年龄分布的模型等。 Usher模型 降雨时期，街道积水达到一定程度，不但给过往行人、车辆带来不便，而且容易引发交通事故。通常，在降雨强度不大的情况下，街道下水口能发挥很好的作用，然而在暴雨天气，有些街道就会积水成河，造成交通阻塞等危害。合理的下水口布局应当是在强降雨情况下，也能保证街道上积水适量，不至于影响正常的行人及车辆通行。可以想象，街道上的下水口愈多，单位时间排走的雨水也就愈多，但同时，安装下水口及与之相应的铺设下水管道的费用也就愈多。因此，合理布局街道（特别是一些路况复杂的街道）下水口是城市道路建设中的重要问题。 试解决以下两个问题： 1．在费用尽可能少的情况下，如何合理布局街道下水口，才能在强降雨时期避免水灾； 2．现在测量得到西安市的四条含交叉路口（小寨十字路口）的街道下水口布局情况，请研究其布局是否合理，若不合理，请给城市道路管理部门提出合理化建议（已知小寨南路南端比十字路口高1米，小寨北路北端比十字路口高0.8米，小寨东路东端比十字路口高0.5米，小寨西路西端比十字路口高0.4米）。 讨论课 1 平板车装箱问题 2 揪出泄密三人帮 有7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（w，以 kg 计）是不同的。下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2m长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40T。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数由一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。 1 平板车装箱问题 8 4 6 6 9 7 8 件数 1000 2000 4000 500 1000 3000 2000 w,(kg) 64.0 52.0 48.7 72.0 61.3 52.0 48.7 t,cm C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 美国纽约大学库兰特研究院的计算机科学系某教授，主要从事谜题的设计及破解。最近他出版了一本《艾科博士的网络谜题：给骇客与数学侦探的36道谜题》(w.w.Norton,2002)。 2 揪出泄密三人帮 某政府首长的九位顾问有三个泄密者，为了找到泄密三人帮，这位首长决定：每天透露一份消息给四位顾问，如果消息走漏了，他再针对这可疑的四位顾问，一次透露消息给其中三人知道。他有两个目标： 第一，最多只能走漏两次消息，一次在四人组合，另一次顶多是在三人组合时； 第二，他希望能找出一系列恰当的四人组合，既保证他能找到想要的四人组合，因此找到其中泄密的三人帮，而且他还希望提供消息的次数不超过25次。 我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最