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微积分是算术 林群（linq@lsec．cc．ac．cn） 序 ——等式微积分 微积分压倒一切的任务就是两个算术运算：求函数的导数以及求导数的积分，相应于除法以及加法． 由多项式（甚或）开始，那么进入微积分可以通过等式（简称等式微积分）无须不等式．微积分一下雾散天晴了！ 一唱雄鸡天下白 这对多数人就够了，知足了．剩下只是复制到更一般的函数．这里前者（多项式）才是原作或酵母，后者只是推广或发酵．于是，我们有了各种函数的微积分． 简言之，我们的秘密就是建立等式微积分，首先对原件进行，然后再将这个过程由原件复制到各种函数上． 复印机 这个序言则是通过推开等式微积分的窗口． 序幕：的微积分 导数 微积分之首是导数，擒贼先擒首，先回答一个函数的导数是什么．但裸例才能凸显理论、揭秘真相，所以首先考察． 为了对比，先看整数相除 若四舍五入，右边剩下整数9，大大简化了除法． 再回到，它的导数就是做除法 由一步简单代数 （0-1） 别看这一小步，要解读这一等式，需要一点哲学或数学的思考，甚或产生新概念： 右边分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前一项(不含因子, 本例中为)只由左边函数决定，在区间 对任一和 上有定义，称为的区间导数，记 ． 这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-1），即使（无论多大），也照样定义有导数（即区间导数）！ 注1 以上宣称分解式（0-1)是唯一的，因为若有其它分解： ,即 （对任意 ）， 则 （对任意 ）注意这是的一次多项式，于是. 2. 下一步，当区间退化到端点，或者说当退化为0，这时区间导数就回到传统的“点态导数”．由（0-1）看到平均速度如何逐渐过渡到瞬时速度．我们用区间导数，纯代数的概念，代替“点态导数”只是为了远离极限．也参看张景中的《直来直去的微积分》（科学出版社，2010），以及Yang, Livshits, Range, Dovermann, Karcher与Leger.等. 3. 区间导数可用来表示的函数值在区间上的变化： （0-2） 下段将看到，当大区间分割为若干小区间如时，对后者用区间导数表示将更方便． 所以，一个分解式，（0-1），可有多种解读． 有了导数做平台，再求 导数的积分(需要耐心的读者) 如果说，按（0-2），导数表示函数值在较小区间上的较小变化，那么，积分就是函数值在大区间上的总变化, ．它们之间的联系基于大区间可分割为段子区间 以及函数值的总变化也随之分解为个较小变化： 那么这些较小变化又方便地被表示为个区间导数，： 或 （） ，依赖于区间．左边的求和太长，右边简化了！ 跟（0-1）对比，可以复制那里的哲学或数学的思考，甚或产生新概念： 1. 上式右边也分解为两项，后一项含因子，前一项不含．这样的分解是唯一的．其中前项(不含因子, 本例中为)只由左边的导数决定，称为在函数区间上的积分． 这一步只是纯代数，无需传统假设：．换句话说，通过（0-3），即使（无论多大），,也照样定义有积分！ 2. 下一步，当分割加密（或减小或增大），（0-3）左边的求和逐渐过渡到一个简单的数，，称为传统意义下的积分（即无限和或的面积），．这个过程表示为所期望的结果 （0-4） 即微积分基本公式． 一开始知道来龙去脉就够了． 有几个特点：一是简单（才能用等式），且全过程可以复制到多项式上（见第一篇（1-6））；二是常用，如爱因斯坦甚至只用一个二次式（）Range补充了伽利略的自由落体运动)；三是多项式不涉及无理数，根据伍鸿熙假设：中学数学是有理数的数学，所以多项式的微积分是理想的中学教材． 现在有了多项式的微积分，对中学就够了（刘嘉荃认为中学用得最多也就是多项式表示的导数与积分），这就解了当务之急！ 梦想成真：中学微积分 小结 或 的两种算术运算（求导数以及求导数的积分）归结到 两条等式 或恒等式，（0-1）（0-3），或（1-5）（1-6）．它们凸显了微积分的全过程，懂得它们也就懂了全书，所以这两条代数式怎么强调也不过分. 再极端点说：忘掉一切也不可忘了这两条代数式，它们是本书唯一需要用心之处，必须渗入血液和骨头．精通了它们也就胸有成竹，其它部分一扫而过！ 序是全书的脸面. 我们用心良苦， 用心良苦 也是得意之处，就是策划了这么一个实物样本（），使微积分的概念