线性代数-知识框架.doc

线性代数－知识框架 注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间. 注： √ 关于： ①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量； ②线性无关； ③； ④； ⑤任意一个维向量都可以用线性表示. 行列式的定义 √ 行列式的计算： ①②若都是方阵（不必同阶）则③上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积④关于副对角线：⑤范德蒙德行列式： 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或 伴随矩阵 ，为中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法: ① 注： ② ③ √ 方阵的幂的性质： √ 设的列向量为的列向量为， ，为的解可由线性表示. 同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵. √ 用对角矩阵左乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵右乘一个矩阵相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 分块矩阵的逆矩阵： 分块对角阵相乘：分块对角阵 √ 矩阵方程的解法)：设法化成 √ 与同解（列向量个数相同）则：① 它们的极大无关组相对应从而秩相等 ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性 ③ 它们有相同的内在线性关系与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）； 矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）. √ 判断是的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是的解； ③ 零向量是任何向量的线性组合零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关整体必相关；整体无关部分必无关原向量组无关接长向量组无关；接长向量组相关原向量组相关两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组中任一向量≤都是此向量组的线性组合向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由个线性表示向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个线性表示维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. . 若线性无关，而线性相关则可由线性表示且表示法一矩阵的行向量组的秩列向量组的秩阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩且不改变列向量间的线性关系 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩且不改变行向量间的线性关系施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘； 对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘. 矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为.记作 向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 经过有限次初等变换化为记作：向量组等价 和可以相互线性表示记作： 矩阵与等价可逆作为向量组等价即：秩相等的向量组不一定等价 矩阵与作为向量组等价矩阵与等价向量组可由向量组线性表示≤. 向量组可由向量组线性表示且，则线性相关 向量组线性无关且可由线性表示则. 向量组可由向量组线性表示且则两向量组等价 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组极大无关组 若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等 若是矩阵则若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关即：线性无关矩阵的秩的性质： ① ≤≤ ② ③ ④≤ ≤≤ ⑤ ⑥≤ ⑦ ≤ ⑧ ⑨若且在矩阵乘法中有左消去律； 若 且在矩阵乘法中有右消去律. √ 初等矩阵的性质：  注： 线性方程组的矩阵式 向量式 矩阵转置的性质： 矩阵可逆的性质： 伴随矩阵的性质： （无条件恒成立） 线性方程组解的性质： 设为矩阵若一定有解 当时一定不是唯一解则该向量组线性相关