2016全国各地中考数学分类：操作探究(含)解说.doc

操作探究 填空题 1．（2016·山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm， 且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长_____________cm． 【知识点】折叠（轴对称）——轴对称的性质、特殊平行四边形——矩形的性质、锐角三角函数——三角函数的求法、勾股定理 【答案】36. 【解析】∵△AFE和△ADE关于AE对称，∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE. ∵tan∠EFC＝＝，∴可设EC＝3x，CF＝4x，那么EF＝5x， ∴DE＝EF＝5x.∴DC＝DE＋CE＝3x＋5x＝8x.∴AB＝DC＝8x. ∵∠EFC＋∠AFB＝90°, ∠BAF＋∠AFB＝90°, ∴∠EFC＝∠BAF.∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，∴＝.∴AB＝8x,∴BF＝6x.∴BC＝BF＋CF＝10x.∴AD＝10x. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2.∴(10x)2＋(5x)2＝(5)2.解得x＝1. ∴AB＝8x＝8,AD＝10x＝10. ∴矩形ABCD的周长＝8×2＋10×2＝36. 【点拨】折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题. 解答题 1. （2016·江西·6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹． （1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边； （2）在图2中画出线段AB的垂直平分线． 【考点】作图—应用与设计作图． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题． （2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题． 【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）． （2）线段AB的垂直平分线如图所示， 点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线． 2. （2016·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”． 【探究证明】 （1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形； （2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′． 【归纳猜想】 （3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为　15°　，　24°　； （4）图n中，“叠弦三角形”　是　等边三角形（填“是”或“不是”） （5）图n中，“叠弦角”的度数为　60°﹣\frac{180°}{n}　（用含n的式子表示） 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD，最后用旋转角计算即可； （2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可； （3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可； （4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形； （5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数． 【解答】解：（1）如图1， ∵四ABCD是正方形， 由旋转知：AD=AD，∠D=∠D=90°，∠DAD=∠OAP=60°， ∴∠DAP=∠DAO， ∴△APD≌△AOD（ASA） ∴AP=AO， ∵∠OAP=60°， ∴△AOP是等边三角形， （2）如图2， 作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N． ∵五ABCDE是正五边形， 由旋转知：AE=AE，∠E=∠E=108°，∠EAE=∠OAP=60° ∴∠EAP=∠EAO ∴△APE≌△AOE（ASA） ∴∠OAE=∠PAE． 在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，????AE=AB ∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）， ∴∠EAM=∠BAN，AM=AN． 在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN ∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）． ∴∠PAM=∠OAN， ∴∠PAE=∠OAB ∴∠OAE=∠OAB （等量代换）． （3）由（1）有，△APD≌△AOD， ∴∠DAP=∠D′AO， 在△AD′O和△ABO中， ，