《垂直于弦的直径》教学范例.ppt

阎良一中 高亚玲 * 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 实践探究 　把一个圆形纸沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，　 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡC 和ＢC　 重合，ＡD 和ＢD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 活 动 二 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O E D A B C （1） ⊙O是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴． （2）线段：AE=BE． ⌒ ⌒ 弧：AC＝ＢC，ＡD＝ＢD. ⌒ ⌒ · O A B C E D 那么直径CD平分弦AB，并且平分AB及ACB． ⌒ ⌒ 即AE＝BE，AD＝BD，AC＝BC． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 如图，如果直径CD⊥弦AB，垂足为点E. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 　　　　　　并且平分弦所对的两条弧． 如图，AB是⊙O的一条（非直径）的弦，点E是AB的中点，过点E作直径CD．问：直径CD⊥弦AB吗？为什么？ 你还能得出什么结论？ · O A B C E D 直径CD⊥弦AB.　　 理由：连接OA和OB． ∵ＯA＝ＯB， ∴△AOB是等腰三角形． ∵点E是AB的中点， 直径CD⊥弦AB． 直径CD 平分劣弧AB、 平分优弧ACB． 垂径定理推论　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AE=BE, 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC, ⌒ ⌒ 垂径定理： 推论： ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 ③ AE=BE ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 可推得 Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｏ D 知二得三 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　 　必平分此弦所对的弧 √ √ √ × × × × 解决求赵州桥拱半径的问题 如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据垂径定理得，D 是AB 的中点，C是AB的中点，CD 就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ B O D A C R OD=OC－CD=R－7.2 在图中，AB=37.4，CD=7.2， 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27.9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 弦长a、弦心距d、半径R以及弓形高h之间的关系： ⑴　　　　 ； ⑵ ． 活动三 巩固提高，灵活运用 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． B A O E 解： 在Rt △ AOE 中 答：⊙O的半径为5cm.