第八章无穷级数-副本解说.doc

第八章 无穷级数 本章知识结构导图 §8.2 常数项级数 一、常数项级数的概念 在初等数学中知道: 有限个实数相加, 其结果是一个实数. 本章将在这个基础上继续推广, 讨论“无限个实数相加”所可能出现的情形及其有关特性. 定义： 【定义 1】 设有一个无穷数列 , 则称 (1) 为常数项级数或无穷级数（也常简称级数）, 其中称为常数项级数(1)的通项. 常数项级数(1)也常写作 或简单写作. 作常数项级数(1)的前项之和 称为级数(1)的第个部分和, 也简称部分和. 当依次取时, 它们构成一个新的数列: . □ 【定义2】 若常数项级数(1)的部分和数列收敛于（即）, 则称常数项级数(1)收敛, 称为常数项级数(1)的和, 即或; 若部分和数列是发散的, 则称常数项级数(1)发散. □ 判断以下级数是否收敛, 若收敛求出其和. (1) (2) 【解】 (1) 这个级数的部分和为 , 显然有, 因此所给级数是发散的. (2) 由于这个级数的部分和为 , 从而 . 故这个级数是收敛的, 它的和是1. □ 【例2】 讨论几何级数（也称为等比级数）的敛散性. 解作若, 则下面考虑的问题 若, 即当时, , 则; 若, 即当时, , 故不存在; 若, 当时, , 故不存在; 若, 当时, , 故不存在; 综上所述, . □ 当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间的误差为: 叫做级数(1)的余项. □ 注2 级数与数列极限有着紧密的联系. 给定级数, 就有部分和数列; 反之, 给定数列, 就有以为部分和数列的级数 其中 . 因此, 级数与数列同时收敛或同时发散, 且在收敛时, 有, 即. □ 基于级数与数列极限的这种关系, 我们不难根据数列极限的性质推出下面有关级数的一些性质. 性质 【性质 1】 若级数与分别收敛于和, 为常数, 则由它们的项的线性组合所得到的级数也收敛, 且 , 即其和为. *【证】 设的部分和是, 的部分和为, 则有 则级数的部分和为 所以. 这就表明级数也收敛, 且其和为. □ 【性质 2】 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性. *【证】 我们只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项, 不会改变级数的敛散性”, 则其他情形可以类似证明. 设将级数的前项去掉, 则得到级数 于是新得到的级数的部分和为 , 其中为原级数的前项的和. 由于为常数, 所以当时, 与或者同时具有极限, 或者同时没有极限. 同理可以证明在级数的前面加上有限项, 不会改变级数的收敛性. 注3 由此可见, 一个级数是否收敛与级数前面有限项的取值无关. 但是对于收敛级数来说, 去掉或增加有限项后, 级数的和一般是发生了变化的. □ 【性质3】 在收敛级数的项中任意加括号, 既不改变级数的收敛性, 也不改变它的和. 注4 需要注意的是, 从级数加括号后的收敛性, 不能推断它在未加括号前也收敛. 例如, 收敛, 但级数却是发散的. 【性质4】 （收敛级数的必要条件）: 若级数收敛, 则有. *【证】 设级数收敛, 其和为, 显然 于是. □ 注5 性质4的逆命题是不成立的. 即有些级数虽然通项趋于零, 但仍然是发散的. 【例3】 证明调和级数 是发散的. *【证】 这里调和级数虽然满足推论的结论, 即, 但是它是发散的. 我们用反证法来证明. 假设级数(2)收敛, 设它的第个部分和为, 且 , 显然, 对级数(2)的第个部分和为, 也有. 于是 . (3) 但是 . 故与(3)式矛盾, 则假设不成立, 说明原级数发散. 注6 性质4的逆否命题是成立的. 即如果, 则必定发散. 例如, 级数, 它的通项, 因此该级数发散. 二、正项级数收敛性判别法 一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、 负数或者零. 现在我们先讨论各项都是正数或零的级数, 这种级数称为正项级数. 下面我们讨论正项级数 , 其中.