11、陕西中考数学24题教师版.doc

陕西中考数学24题：二次函数 第四节 最值问题 典型例题 1. (2009 山东省威海市) 的坐标分别为，过三点的抛物线的对称轴为直线为对称轴上一动点． 求抛物线的解析式； 求当最小时点的坐标； 以点为圆心，以为半径作． ①证明：当最小时，直线与相切． ②写出直线与相切时， 点的另一个坐标：___________． 解：（1）设抛物线的解析式为． 将代入上式，得． 解，得． 抛物线的解析式为． 即． （2）连接，交直线于点． 点与点关于直线 对称， ． ． 由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时最小，点的位置即为所求． 设直线的解析式为， 由直线过点，，得 解这个方程组，得 直线的解析式为． 由（1）知：对称轴为，即． 将代入，得． 点的坐标为（1，2）． 说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分． （3）①连接．设直线与轴的交点记为点． 由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）． ． ． ． ． 与相切． ②． 2. (2009 广西贺州市) 的顶点为A，与y 轴交于点B． （1）求点A、点B的坐标． （2）若点P是x轴上任意一点，求证：． （3）当最大时，求点P的坐标． 解：（1）抛物线与y轴的交于点B， 令x=0得y=2． ∴B（0，2） ∵ ∴A（—2，3） （2）当点P是 AB的延长线与x轴交点时， ． 当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时， 在点P、A、B构成的三角形中，． 综合上述： （3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点 作AH⊥OP于H． ∵BO⊥OP， ∴△BOP∽△AHP ∴ 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2， ∴OP=4，故P（4，0） 3. (2007 江苏省南通市) 的两个顶点分别是，，第三个顶点在轴的正半轴上，关于轴对称的抛物线经过，三点，且点关于直线的对称点在轴上． （1）求直线的解析式； （2）求抛物线的解析式及点的坐标； （3）点是轴上一动点，求的取值范围． 解：（1），，， 是等腰三角形，且点在轴的正半轴上，， ．． 设直线的解析式为，，． 直线的解析式为． （2）抛物线关于轴对称，． 又抛物线经过，两点． 解得 抛物线的解析式是． 在中，，易得． 在中，，，易得． 是的角平分线． 直线与轴关于直线对称． 点关于直线的对称点在轴上，则符合条件的点就是直线与抛物线的交点． 点在直线：上， 故设点的坐标是． 又点在抛物线上， ．解得，． 故所求的点的坐标是，． （3）要求的取值范围，可先求的最小值． I）当点的坐标是时，点与点重合，故． 显然的最小值就是点到轴的距离为， 点是轴上的动点，无最大值，． II）当点的坐标是时，由点关于轴的对称点，故只要求的最小值，显然线段最短．易求得． 的最小值是6． 同理没有最大值，的取值范围是． 综上所述，当点的坐标是时，， 当点的坐标是时， ． 二、自我检测 1. (2007 内蒙古自治区赤峰市) 如图，一元二次方程的二根（）是抛物线与轴的两个交点的横坐标，且此抛物线过点． （1）求此二次函数的解析式． （2）设此抛物线的顶点为，对称轴与线段相交于点，求点和点的坐标． （3）在轴上有一动点，当取得最小值时，求点的坐标． 解：（1）解方程 得 抛物线与轴的两个交点坐标为： 设抛物线的解析式为 在抛物线上 抛物线解析式为： （2）由 抛物线顶点的坐标为：，对称轴方程为： 设直线的方程为： 在该直线上 解得直线的方程为： 将代入得 点坐标为 （3）作关于轴的对称点，连接；与轴交于点即为所求的点 设直线方程为 解得 直线： 令，则 点坐标为 2. (2007 浙江省义乌市) 如图，抛物线与x轴交A，B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求A，B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）令y=0，解得或 ∴A（-1，0）B（3，0）； 将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3） ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分） 则P，E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（ ∵P点在E点的上方，PE= ∴当时，P