2001年华东师范大学硕士研究生数学分析试题解答.doc

华东师大数学分析2001年试卷 一、（30分）简单计算题 验证当时，与为等价无穷大量. 求不定积分. 求曲线积分,其中有向曲线为沿着正弦曲线从O（0,0）到点A. 设为可微函数，，并有方程 ，试对以下两种情形分别计算在点处的值； 由方程确定了隐函数; 由方程确定了隐函数; 二、（12分）求椭球与锥面所围成的立体. 三、（12分）证明：若函数在有限区域内可导，但无界，则其导函数在内必无界. 四、（12分）证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛。 五、（17分）设在[0,1]上连续，，证明： 在[0,1]上不一致收敛； 在[0,1]上一致收敛； 六、（17分）设函数在闭区间上无界，证明： ，使得 ，使得（此题鼓励多） 2001年华东师范大学硕士研究生招生考试 数学分析试题解答 一、⑴用洛必达法则验证： ⑵ ⑶ ⑷第一种情况： 第二种情况：FOR SO， 二、设立方体在平面的投影区域为： 。 。 令。 。 三、（反证法）：若在上有界，设。则对任意取定，对一切有 导致与在上无界的条件矛盾，故证得在上必定无界。 四、 因为收敛，所以存在，使 ， 。 又因为收敛，故由优级数列判别法推得也收敛。 五、 ⑴。 由于，因此在不一致收敛，故在[0，1]上更不一致收敛。 ⑵由于，因此 ，因在左连续，故，当时，满足 于是当时，有 ， 说明在上一致连续。 又在上，因为在[0，1]上连续，故存在最大值（若M=0，则，结论显然成立）。此时有 ， 所以在上一致连续。 综上证得在[0，1]上一致连续。 六、 ⑴ 因为在上无界，故，使。 现取，相应地，使得， 故。 ⑵证明：（利用致密性原理） 因为⑴中所得的，故存在收敛子列，设为 ，当时， 。 另一方面。因为，故，当时 使。 综上，当时，同时有 ，， 于是在上无界。 说明：利用有限覆盖原理亦可以完成证明。