2009届高三复习“数形结合思想”专题及专项训练.doc

“数形结合思想”专题及专项训练 一、大纲解读 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也即将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合. 二、高考预测 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.题目一般以各种题型出现都有可能,尤其对选择题、填空题特别有功效. 结合二次曲线时,题目有点难度,除此之外都比较基础. 三、重点剖析 1．与方程有关的问题 例1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 解析： 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。 点拨:对于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解来,再说有几个根是不可能的,而借助数形结合,将根的个数问题转化为图像的交点个数问题. 2、与不等式有关的问题 例2 解: . 点拨: 数形结合,将不等式问题转化为两函数图象的高低关系,进而转化为解方程,求交点的横坐标. 例3 设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立 考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方 如图两种情况 不等式的成立条件是 (1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1) (2)a∈(–3,–2， 综上所述a∈(–3,1) 解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1) 令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l对应的a∈(–3,1) 反思:不等式f(x)g(x)恒成立,就是保证函数f(x)的图象在g(x)图象的上方,借助图象的高低来比较量的大小. 3．与函数有关的问题 例4 设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围 分析: 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化 解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 ①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4} 要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾 ②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知 必须且只需,解得≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}， 要使CB必须且只需 ,解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立 综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］ 点拨: 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 求一元二次函数在定区间上的值域或最值,要根据对称轴与该区间的关系,充分借助相应区间上二次函数的图象求解. 4、与几何有关的问题 例5若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。 解析：y=x－m表示倾斜角为45°，纵截距为－m的直线，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即. 点拨:明确方程的几何意义,在同一坐标系中画出相应的几何图形,根据直线系的特点,由图形研究直线与半圆的位置关系. 例6 。 解析: 截距。 ∴ 反思:对于形如y－3x的二元一次函数求最值,如果限制条件是表示的是几何区域或曲线,常采用借助直线的截距来求. 四、扫雷先锋 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，不仅在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，而且在解决一些抽象问题中常起到事半功倍的效果，在运