2011年人教大纲版高考题库考点28圆锥曲线的综合问题.doc

温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点28 圆锥曲线的综合问题 一、选择题 1.(2011·重庆高考文科·T9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) (A) (B) (C) (D) 【思路点拨】先设出双曲线的标准方程,写出左准线的方程和渐近线的方程,根据左焦点与圆的位置关系求解离心率的取值范围. 【精讲精析】选B.设双曲线的方程为,则左准线的方程为, 渐近线方程为,故可求得,所以,以为直径的圆的方程为,因为左焦点在圆内,所以 ,即, 根据化简得, 即 解得,又因为双曲线的离心率,所以. 二、填空题 2.(2011·重庆高考理科·T15)设圆位于抛物线与直线所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆的半径能取到的最大值为 . 【思路点拨】当圆和抛物线及直线都相切时半径最大,此时圆心位于轴上. 【精讲精析】当圆的半径最大时,设圆心坐标为,则半径为,其中， 圆的方程为,联立 消去得, ,整理得， 因为圆与抛物线相切,所以,解之得， 又因为,所以,半径为. 【答案】 三、解答题 3.（2011·湖北高考理科·T20），连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线. （1）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系； （2）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点.试问：在上，是否存在点，使得△的面积.若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】（1）设M（x,y）,利用可得的方程为，再根据与0，-1的大小分类讨论；（2）设,由N在C1上可得，再由可将用表示，由此可求点N存在时，的取值范围，设，又 先求出后，即可求出 【精讲精析】(1)可设动点为M，其坐标为(x，y)，当时，由条件可得 即 又、的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为. 当时，曲线C的方程为C是焦点在y轴上的椭圆； 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆； 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的椭圆； 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线. ⑵由⑴知，当时，C1的方程为.当时， C2的两个焦点分别为对于给定的， C1上存在点N使得的充要条件是 由①得，由②得， 当，即或时， 存在点N，使； 当，即或时， 不存在满足条件的点N. 当时， 由，， 可得 令，，， 则由可得 从而于是由， 可得即 综上： 当时，在C1上，存在点N，使得，且 当时，在C1上，存在点N，使得，且 当时，在C1上，不存在满足条件的点N. 4.（2011·全国高考理科·Ｔ21）已知为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足 (1)证明：点P在C上； (2)设点P关于点的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【思路点拨】(1) 联立方程利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标,代入椭圆方程验证即可证明点P在C上. (2)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用到角公式. 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可. 【精讲精析】 (1)设 直线与联立得 解得 由得 , 所以点P在C上. （2）方法一： 同理 所以互补， 因此A、P、B、Q四点在同一圆上. 方法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…① 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…② 由①②得、的交点为 , ,, 故， 所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上. 5.（2011·四川高考理科·Ｔ21） 椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点.直线AC与直线BD交于点. （Ⅰ）当=时，求直线的方程； (Ⅱ)当点P异于A、B两点时，求证: 为定值. 【思路点拨】（Ⅰ）先求出椭圆的标准方程，因为直线过定点(0,1)，故只需利用弦长公式求出斜率即可. (Ⅱ)直线过定点(0,1)，但斜率不确定，故点的坐标随直线斜率的 变化而变化.所以可用直线的斜率表示点.若设的方程为 则要证为定值，只需用表示点的横坐标.通过联立直线 AC,BD的方程求点的横坐标. 【精讲精析】（Ⅰ）因椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为 由已知得，∴.则椭圆方程为.直线垂直于