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第七章 差分方程模型 差分方程 ~ 离散时段上描述变化过程的数学模型 一年期存款年利率为r，存入M， 记第k年本息为xk n年后本息为 污水处理厂每天将污水浓度降低比例q, 记第k天的污水浓度为ck , 离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的 天后污水浓度降低一半 一阶线性常系数差分方程 高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组 非线性差分方程 差分方程 例1 濒危物种(Florida 沙丘鹤)的自然演变 和人工孵化 一阶线性常系数差分方程 在较好自然环境下，年平均增长率为1.94% 在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24% 在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82% 如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算. 生态学家估计 如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区， 在中等自然环境下鹤的数量将如何变化? 模型及其求解 记第k年沙丘鹤的数量为xk， 自然环境下年平均增长率为r 设每年人工孵化的数量为b， 结果分析 时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势 a1(r0)时xk→∞, a1(r0)时xk→0 自然环境下 在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。 人工孵化条件下 a1(r0)时xk→x=b/(1-a) x=5/0.0324=154.32 一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 一般形式 差分方程的平衡点 差分方程的解 c由初始值x0确定 若k→∞时xk→x, 平衡点x稳定, 否则平衡点x不稳定 平衡点稳定的充要条件是 ?a ?1 代数方程 x=ax+b 的根 x=b/(1-a) 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡 蛛 网 模 型 g x0 y0 P0 f x y 0 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 供应函数 需求函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0, xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 x y 0 f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 P0是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点 x y 0 y0 x0 P0 f g ? ? 曲线斜率 蛛 网 模 型 ? 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方 程 模 型 方程模型与蛛网模型的一致 ? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察? , ? 的含义 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 ? 尽量小，如 ?=0 以行政手段控制价格不变 2. 使 ? 尽量小，如 ? =0 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件 补充：高阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性 ?1, ?2, …?n c1, …,c n由初始值x1, …,x n确定 特征方程 特征根 平衡点 差分方程的解 平衡点稳定的条件: 所有特征根的模小于1 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) ?1, 2~特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k??, xk?x0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了 模型的推广 减肥计划——节食与运动 背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 1