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2013年房山区期末高三数学(理科)参考答案
房山区高三年级第一学期期末练习
数 学 (理科)2013.1
选择题:
1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D
【解析】C;因为,且和都在集合中,所以,,所以,且故有,选D.
【另解】C;,,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以或,于是,选D.
填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10. 11. 12.
13. 14.
数形结合
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15(本小题满分13分)
(Ⅰ)由 ………………1分
得 ………………3分
所以函数的定义域为 ……………4分
(Ⅱ)
= ……………8分
= ……………10分
所以 ……………13分
16. (本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:连接
∵是长方体,
∴平面,
又平面
∴ ………………1分
在长方形中,
∴ ………………2分
又
∴平面, ………………3分 而平面
∴ ………………4分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则
,
设平面的法向量为,则
令,则 ………………7分
………………9分
所以 与平面所成角的正弦值为 ………………10分
(Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.
设的坐标为,则 因为 ∥平面
所以 , 即, ,解得, ………………13分
所以 在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……14分
17. (本小题满分13分)
(Ⅰ)在处投篮命中记作,不中记作;在处投篮命中记作,不中记作;
甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则
………………2分
②的所有可能取值为,则
………………6分
的分布列为:
0 2 3 4 0.02 0.16 0.5 0.32 ………………7分
, ………………9分
(Ⅱ)甲同学选择方案1通过测试的概率为,选择方案2通过测试的概率为 ,
=
因为
所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 ………………13分
18. (本小题满分13分)
(Ⅰ) ………………1分
依题意有, ………………3分
解得, ………………5分
经检验, 符合题意, 所以,
(Ⅱ) 当时,
当时, 解, 得
当时,;当时,
所以减区间为,增区间为. ………………7分
当时,解, 得, ………………9分
当时,
当或时,;当时,
所以增区间为,,减区间为. ………………11分
当时,
当或时,;当时,
所以增区间为,减区间为,. ………………13分
综上所述:当时, 减区间为,增区间为;
当时, 增区间为,,减区间为;
当时, 增区间为,减区间为,.
19(本小题满分14分)
(Ⅰ)当时, ……………… 1分
当时, .…… 2分
而当时,
∴. ………………4分
(Ⅱ)
∴……
………………7分
∵
∴单调递增,故. ………………8分
令,得,所以. ……………… 10分
(Ⅲ)
(1)当为奇数时,为偶数, ∴,.
………………1 2分
(2)当为偶数时,为奇数, ∴,(舍去).
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