8系统的状态变量分析.ppt

§8.4 连续系统状态方程的求解 状态方程和输出方程的一般形式为 一.状态方程的时域解 1.公式推导(与一阶微分方程解法相似) (1) 由(1)式,当输入为0时, （1）由凯莱—哈密尔顿定理 4.求解公式的卷积形式 5.系统的冲激响应矩阵 其中矩阵中的第i行第j列元素hij(t)是当第j个输 入分量fj(t)=δ(t),而其余分量均为0时,第i个 输出分量yi(t)的零状态响应。 二.用拉氏变换解状态方程 1.求解公式 2.求eAt的第二种方法 3．s域的状态方程和输出方程 4．系统的稳定性 5．系统的频率响应矩阵 一般线性变换的方法导出 对于动态方程 可以证明，不同状态变量下的系统函数可互导出 设用状态矢量g(t)描述时系统函数为Hg(s) 问题 已知以x(t)为状态变量的系统描述,欲变换到以g(t)为变量的描述——如何求P？ 例.已知描述系统的系统矩阵为 试将其变为对角阵。 三.系统的可观性与可控性的判别方法 四.可控性、可观性与系统函数之间的关系 由卷积定义: 定义: 对角方阵 于是式可写为: 为 矩阵 例2 例3 简记为 对方程 取拉氏变换 =零输入响应+零状态响应 取逆变换 与时域求解公式 比较，有 定义预解矩阵 由此可求出系统的转移矩阵。 P379例 其中 定义系统函数矩阵 冲激响应矩阵和系统函数矩阵的关系 例4 在用状态变量法分析系统时，先求出H(s)，如果其极点都在左半开平面，则系统是稳定的，否则不稳定。 也可用罗斯-霍尔维基准则。例5 其极点是det(sI-A)=0的根。 8.4 连续状态方程的求解 例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 解 X(s) = Φ(s)[x(0-) +BF(s)] 起始状态x1(0-)=3，x2(0-)=2，输入f(t) =δ(t)。求状态变量和输出。并判断该系统是否稳定。 8.4 连续状态方程的求解 y(t) = [1 1]x(t) + f(t) = =δ(t)+ 6e-2tε(t) 由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。 H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3) 如果系统函数矩阵H(s)在jω轴上收敛，则其频率响应矩阵为 8.5 离散状态方程的求解 8.5 离散系统状态方程的求解 用Z变换法求解状态方程 取单边z变换: zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z) X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z) 设Φ(z)= (zI-A)-1 z X(z) = Φ(z)x(0) +z-1Φ(z)BF(z) Y(z) = CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z) yx(k) =Z-1[CΦ(z) x(0) ] ，yf(k) =Z -1[( Cz-1Φ(z)B+D )F(z)] H(z)=[Cz-1Φ(z)B+D] Φ(z)的极点就是H(z)的极点.即| zI-A|=0的根。 8.5 离散状态方程的求解 例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为 初始状态为 ，激励f(k)=ε(k)。求状态方程的解和系统的输出。 解 Φ(z)=[zI-A]-1z= X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]= 8.5 离散状态方程的求解 ※§8.6 系统的可控制性和可观测性 一.系统可控性和可观性的概念 可观测性: 一个系统如果在其输出端能观测到所有响应分量，则称该系统为可观测的或能观测的，否则称为不可观测的。 若α＞0,则复合系统是稳定的.但是,若加入有界输入f(t),则子系统Ha(s)的输出ya(t)中将含有e2t的项,使该系统不能稳定工作.从系统的输出yf(t)中观测不到固有响应分量e2t. 可控制性: 一个系统,如果能通过输入的控制作用从初始状态转移到所要求的状态,称该系统为可控制的或能控制的,否则称不可控制。 该复合系统中子系统Ha是不可观测的, Hb 和Hc是可观测的; 子系统Hc是不受输入f(t)控制的,即不能用输入f(t)来控制Hc的输出yc(t) 二.状态矢量的线性变换 (1)同一系统可以选择不同的状态变量,建立不同的状态方程。 （2）这些不同的状态矢量间必然存在着某种线性变换关系。 例.一个LTI系统的状态变量为x1、x2，动态方程为 若选另一组变量g1、g2，其中 g1=-x2,g2=x1+x2，试求出用g1、g2表示的动态方程。 解：原状态矢量与新状态矢量之间关系可写为 即 将[x1 x2]T的表达式代入得 得到以g为状态矢量的状态方程和输出方程 有关系 比较可得