31导数的概念.docx

3.1 导数的概念前言　在解决实际问题时，常常需要研究变化的快慢程度即变化率的问题．例如：物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济增长率，劳动生产率等等，这种变化率反映在数学上，就是微分学的一个基本概念——导数的概念．　复习增量的概念．　某一变量的增量等于：变化的终止值 - 变化的起始值．例如：对于函数，当自变量从变到时，自变量的增量为：，　所对应的函数值是，所对应的函数值是，所以当自变量从变到时，函数相应地从变到，函数的增量为：．　注意：如果改写为，则函数的增量也相应地改写为．一、导数概念的引入　引例1　瞬时速度问题．?　设质点在数轴上作变速直线运动，表示时刻质点所处的位置，求??时刻的瞬时速度.　?给出了质点的位置与时间之间的对应关系.　在??时刻，质点所处的位置是，在时刻，质点所处的位置是．　当时间从??时刻增加到时刻时，相应地质点就从这个位置运动到了新的位置．　从到这一段时间里，质点的平均速度．　时刻的瞬时速度=??(很小)　时间间隔取得越小，也就是和越接近，近似程度越好，于是让时间间隔，即，就得到了时刻的瞬时速度．所求的瞬时速度为??　这个极限式在形式上是一个特殊结构的极限——增量比的极限：函数的增量与自变量的增量之比，当自变量的增量趋于零时的极限．　引例2　曲线的?切线斜率问题?　设曲线方程为，求曲线上任一点处的切线的斜率．　研究的结果：设曲线在点处存在切线，切线的倾角为，则切线的斜率为??．　这也是一个特殊结构的极限——增量比的极限：函数的增量与自变量的增量之比，当自变量的增量趋于零时的极限．二、导数的定义　定义：设函数，当自变量在点处有一个增量，即自变量从变化到时，函数相应的增量为，如果极限存在，则称函数在点处可导，且这个极限值为函数在处的导数，记为，即　……(1)　几点说明：　(1) 上述增量比的极限存在，我们才称函数在点处可导，如果这个极限不存在，则称函数在点处不可导．　特别地，如果，则函数在处是不可导的，但为了描述方便，我们也称函数在处的导数为无穷大，并记为．　(2)?在点??处的导数也可用下列记号来表示：，　，　．　(3) 导数定义的表示形式比较灵活．　在(1)式中，如果简记自变量的增量，因为，所以函数在点处的导数((1)式)可改写为：　……(2)　在(1)式中，若记，并注意到，则函数在点处的导数又可改写为：??……?(3)　如果记，在点处的导数又会写成什么形式呢？请同学们思考．　(4) 如果函数在开区间内的每一点处都可导，称函数)在区间上可导．这时，对任意，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称为的导函数，也简称导数，记为．　求在区间内的导函数，就是求在内任意一点处的导数，所以只需在(1)式中，将换成，就得到的导函数，　或．　在处的导数值等于导函数在处的函数值，即．　由导数的定义，求导数的方法可概括为以下三个步骤：?　(1)　求增量　求出当自变量从变化到时，函数相应的改变量，　(2)　算比值　求出函数的平均变化率，　(3)　取极限　求自变量的增量时函数的瞬时变化率，即导数?．　典型例题?　例?3.1.1　求常函数的导数．　解　当自变量从变化到时，函数相应的改变量，，　从而，　即．　由此可知，常数的导数等于零．　例?3.1.2　求函数的导数．　解　当自变量从变化到时，函数相应的改变量　?　?，　?，　即?．　可以证明，幂函数的导数公式：??．当时，就是??．?　例?3.1.3　求函数的导数．　　/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0301.html提示?　解　当自变量从变化到时，函数相应的改变量为，，　而，　所以，　即．　可以证明：对数函数的导数公式：，其中，且．特别地，当时，就是．　例?3.1.4　设，求．　　/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0301.html提示?　解　?　?　?　．　例?3.1.5　已知，求　(1)　；　(2)　．　解?　(1)　?　?　．　(2)　?　?　?　．　课堂练习?　1、设，求．　2、利用幂函数的求导公式：??，写出下列函数的导数：，　，　．　3、利用对数函数的求导公式：，写出函数的导数．　4、如果函数在点可导，则（　　　）．（：此题为2006年1月试卷中的题）　A.?B.?　C.?D.不存在　5、设函数??在点可导，且，求．　注：在上述推导过程中，先写出的导数定义式，再将自变量的增量写成的形式，即可利用已知的条件．注意就是，而相当于．三、左、右导数的概念　极限中，可进一步细分为和，相应的极限　和　分别称为在点处的左导数和右导数，记为：和，即　在点处的左导数为：，　在点处的右导数为：．　利用函数极限与其左、右极限的关系可知：．　定理：?在点处可导的充分必要条件是在点处的左、右导数均存在且