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31导数的概念
3.1 导数的概念前言 在解决实际问题时,常常需要研究变化的快慢程度即变化率的问题.例如:物体运动的速度,城市人口增长的速度,国民经济增长率,劳动生产率等等,这种变化率反映在数学上,就是微分学的一个基本概念——导数的概念. 复习增量的概念. 某一变量的增量等于:变化的终止值 - 变化的起始值.例如:对于函数,当自变量从变到时,自变量的增量为:, 所对应的函数值是,所对应的函数值是,所以当自变量从变到时,函数相应地从变到,函数的增量为:. 注意:如果改写为,则函数的增量也相应地改写为.一、导数概念的引入 引例1 瞬时速度问题.? 设质点在数轴上作变速直线运动,表示时刻质点所处的位置,求??时刻的瞬时速度. ?给出了质点的位置与时间之间的对应关系. 在??时刻,质点所处的位置是,在时刻,质点所处的位置是. 当时间从??时刻增加到时刻时,相应地质点就从这个位置运动到了新的位置. 从到这一段时间里,质点的平均速度. 时刻的瞬时速度=??(很小) 时间间隔取得越小,也就是和越接近,近似程度越好,于是让时间间隔,即,就得到了时刻的瞬时速度.所求的瞬时速度为?? 这个极限式在形式上是一个特殊结构的极限——增量比的极限:函数的增量与自变量的增量之比,当自变量的增量趋于零时的极限. 引例2 曲线的?切线斜率问题? 设曲线方程为,求曲线上任一点处的切线的斜率. 研究的结果:设曲线在点处存在切线,切线的倾角为,则切线的斜率为??. 这也是一个特殊结构的极限——增量比的极限:函数的增量与自变量的增量之比,当自变量的增量趋于零时的极限.二、导数的定义 定义:设函数,当自变量在点处有一个增量,即自变量从变化到时,函数相应的增量为,如果极限存在,则称函数在点处可导,且这个极限值为函数在处的导数,记为,即 ……(1) 几点说明: (1) 上述增量比的极限存在,我们才称函数在点处可导,如果这个极限不存在,则称函数在点处不可导. 特别地,如果,则函数在处是不可导的,但为了描述方便,我们也称函数在处的导数为无穷大,并记为. (2)?在点??处的导数也可用下列记号来表示:, , . (3) 导数定义的表示形式比较灵活. 在(1)式中,如果简记自变量的增量,因为,所以函数在点处的导数((1)式)可改写为: ……(2) 在(1)式中,若记,并注意到,则函数在点处的导数又可改写为:??……?(3) 如果记,在点处的导数又会写成什么形式呢?请同学们思考. (4) 如果函数在开区间内的每一点处都可导,称函数)在区间上可导.这时,对任意,都对应着的一个确定的导数值,这样就构成了一个新的函数,称为的导函数,也简称导数,记为. 求在区间内的导函数,就是求在内任意一点处的导数,所以只需在(1)式中,将换成,就得到的导函数, 或. 在处的导数值等于导函数在处的函数值,即. 由导数的定义,求导数的方法可概括为以下三个步骤:? (1) 求增量 求出当自变量从变化到时,函数相应的改变量, (2) 算比值 求出函数的平均变化率, (3) 取极限 求自变量的增量时函数的瞬时变化率,即导数?. 典型例题? 例?3.1.1 求常函数的导数. 解 当自变量从变化到时,函数相应的改变量,, 从而, 即. 由此可知,常数的导数等于零. 例?3.1.2 求函数的导数. 解 当自变量从变化到时,函数相应的改变量 ? ?, ?, 即?. 可以证明,幂函数的导数公式:??.当时,就是??.? 例?3.1.3 求函数的导数. /lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0301.html提示? 解 当自变量从变化到时,函数相应的改变量为,, 而, 所以, 即. 可以证明:对数函数的导数公式:,其中,且.特别地,当时,就是. 例?3.1.4 设,求. /lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0301.html提示? 解 ? ? ? . 例?3.1.5 已知,求 (1) ; (2) . 解? (1) ? ? . (2) ? ? ? . 课堂练习? 1、设,求. 2、利用幂函数的求导公式:??,写出下列函数的导数:, , . 3、利用对数函数的求导公式:,写出函数的导数. 4、如果函数在点可导,则( ).(:此题为2006年1月试卷中的题) A.?B.? C.?D.不存在 5、设函数??在点可导,且,求. 注:在上述推导过程中,先写出的导数定义式,再将自变量的增量写成的形式,即可利用已知的条件.注意就是,而相当于.三、左、右导数的概念 极限中,可进一步细分为和,相应的极限 和 分别称为在点处的左导数和右导数,记为:和,即 在点处的左导数为:, 在点处的右导数为:. 利用函数极限与其左、右极限的关系可知:. 定理:?在点处可导的充分必要条件是在点处的左、右导数均存在且
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