ch3频谱分解法.ppt

第三章 频谱分解法 输入 输出 扰动（信号） 运动（信号） 简单扰动（信号） 简单运动（信号） §3.1 有界弦的自由振动 长为l、两端固定的弦的自由振动 驻波法： 基本思想：有界弦中形成驻波 驻波的特征 弦的内在振动规律 弦振动 驻波的叠加 具体步骤： 由内在振动规律求可能的驻波 （分离变量的特解） 特解的叠加 由初始条件定解 分离变量 分离常数 两常微分方程 边界条件的分离变量形式 分离结果 本征值问题 本征函数和本征值 通解 定解（求本征值和本征函数） 线性无关本征函数系 含时间的方程 分离变量形式的解 物理意义 本征振动：可能的驻波解 基波：（基频 音调） 谐波：（谐频 音色） 定解问题的一般解 确定线性叠加系数（定解） 正交性 可得 定解问题的解为 §3.2 函数空间和它的正交坐标系 线性矢量空间 三维欧氏空间 n维欧氏空间 内积 子空间：个数小于n的正交矢量系 完备 线性函数空间 矢量 函数 函数内积的定义 欧氏空间和酉（幺正）空间(unitary space) 如： 本征函数的模 函数正交性 正交完备系 空间中任意函数的展开及其系数 Sturm-Liouville问题 S-L方程 S-L本征值问题 正交性定理： 假定在开区间(a, b)上实值函数k(x), k’(x), q(x), r(x)连续，在闭区间[a, b]上 k(x) ≥0, r(x) ≥0，且只可能在端点处取零；设ym和yn为本征值问题 相应于不同本征值lm和ln的平方可积本征函数；又若 其中 称为函数 和 的Wronski行列式。则ym和yn在区间上带权重正交，即 展开定理（正则型S-L本征值问题）： 本征值问题存在本征值序列ln , n=1(1) ∞和相应的本征函数系ym(x)，若f(x)和其导数f’(x)在区间[a, b]上分段连续。则有逐点收敛展开公式 若f(x)是平方可积函数则有平均收敛展开公式 简记为 这里 §3.3 分离频谱分解法 散热片的稳定温度分布 作变换 ，定解问题化为 分离变量 本征值问题 解得 含y的方程 一般解为 定解 利用正交性 长为l 的传输线 远端开路 近端接恒压源，断开并短路 分离变量 分离常数 两常微分方程 边界条件的分离变量形式 分离结果 本征值问题 本征函数和本征值 通解 定解（求本征值和本征函数） 线性无关本征函数系 含时间的方程 分离变量形式的解 定解问题的一般解 确定线性叠加系数（定解） 利用正交性，可得 定解问题的解为 无限长理想圆柱导体在匀强静电场中的静电感应 实际问题： 水平架设的输电线处在云和大地之间形成的静电场中输电线离云和大地较远且只考察带电云中心部分垂直正下方的输电线附近的静电场 物理模型： 在匀强静电场中放置一其轴和电场强度E0方向垂直，半径为r0的无限长理想圆柱导体，设导体单位长度所带电量为s0，求圆柱外场强 数学模型： 渐近边界条件： 均匀电场 导体表面带电所产生的场 导体表面感应电荷产生的场（在r很大时很小） 数学模型的求解 分离变量 电势应满足周期条件 本征值问题 或 解为 径向方程（Euler方程） m=0时 m≠0时，作变换 方程化为 一般解为 代入边界条件 利用正交性，得 物理意义 感应电荷产生场的电势 电场强度 柱体表面电场强度与导体表面垂直 若导体不带电则在导体表面 感应电荷密度 有限物体的一维有源输运 当泛定方程为齐次时，分离变量的本征值问题 把源函数展开 利用正交性，得 当源为