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4回归分析
回归分析
1.两变量线性相关系数的计算
总体相关系数
为变量x的总体方差,为变量y的总体方差,为变量x与变量y的总体协方差。相关系数没有单位,在-1~+1范围内波动,其绝对值越接近1,两变量间的直线相关越密切;越接近0,相关越不密切。
样本线性相关系数(Pearson相关系数)
是变量x的样本方差,是变量y的样本方差,是变量x与变量y的样本协方差,为x的离均差平方和,为y的离均差平方和,为x与y的离均差乘积之和,简称离均差积和,其值可正可负。实际计算时可按下式化简:
例:(身高体重的例子)
x=c(171,175,159,155,152,158,154,164,168,166,159,164)
y=c(57,64,41,38,35,44,41,51,57,49,47,46)
plot(x,y)
相关系数计算函数cor(x,y=NULL,method=c(“pearson”,”kendall”,”spearman”))
x为数值向量、矩阵或数据框
y为空或数值向量、矩阵或数据框
method为计算方法,包括“pearson”,”kendall”,”spearman”三种,默认为“pearson”
例:
cor(x,y)
[1] 0.9593031
2.相关系数的假设检验
n=length(x)
r-cor(x,y)
tr=r/sqrt((1-r^2)/(n-2))
tr
[1] 10.74298
相关系数检验函数
cor.test(x,y,alternative=c(”two.sided”,”less”,”greater”),method=c(“pearson”,”kendall”,”spearman”),….)
x,y为数据向量(长度相同)
alternative为备择假设,分别表示双侧,左侧,右侧
method为计算方法,包括“pearson”,”kendall”,”spearman”三种
例:
cor.test(x,y)
Pearsons product-moment correlation
data: x and y
t = 10.743, df = 10, p-value = 8.21e-07
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.8574875 0.9888163
sample estimates:
cor
0.9593031
由于p-value = 8.21e-070.05,于是在显著水平0.05上拒绝原假设,接受相关系数不为0,即该人群身高与体重呈现正的线性关系。
注:不能只看相关系数的大小来判断显著性。还需看其样本量大小。
二、一元线性回归分析
步骤:
建立回归模型;
求解回归模型中的参数;
对回归模型进行检验。
例:d4.3
财政收入与税收有密切的依存依存关系。d4.3给出我们1978年改革开放以来到2008年共31年的税收(x,百亿元)和财政收入(y,百亿元)数据,试分析税收与财政收入之间的依存关系。
步骤:
(1)读入数据
##在d4.3中选取B1:C32区域,然后拷贝
yx=read.table(clipboard,header=T)
(2)拟合模型
fm=lm(yx$y~ yx$x)
fm
Call:
lm(formula = yx$y ~ yx$ x)
Coefficients:
(Intercept) yx$x
-1.197 1.116
于是得到回归方程:
(3)作回归直线
plot(yx$x, yx$y)
abline(fm)
(4)回归方程的假设检验
1)模型的方差分析
anova(fm)
Analysis of Variance Table
Response: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(F)
x 1 712077 712077 27428 2.2e-16 ***
Residuals 29 753 26
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
由于p0.05,于是在0.05水平处拒绝原假设,即本例回归系数有统计学意义,x与y间存在直线回归关系。
2)回归系数的显著性检验
summary(fm)
Call:
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