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数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当时,不等式解集不为,故不满足题意; 当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为 规律总结：不等式对一切恒成立或 不等式对任意恒成立或 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足，而且，请解决下列问题 求二次函数的解析式。 若在区间上恒成立 ，求的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设.由得,故. ∵ ∴ 即,所以,解得 ∴ (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立. 令,则在上单调递减.所以在上的最小值为.所以的取值范围是. 规律总结：对一切恒成立,则;对一切恒成立,则；注意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 同例题2. （2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立. 令,则在上单调递减.所以在上的最大值为，最小值为，所以的取值范围是。 规律总结：若方程在某个区间上有解只需求出在区间上的值域A使。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 同例题2. 若在区间上有解 ，求的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知在有解,即在有解 令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是。. 规律总结：在区间内有解,则;在区间内有解,则；注意参数的端点值能否取到需检验。 练习 .1不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是_______． [解析]：不等式对一切R恒成立, 即 对一切R恒成立 若=0,显然不成立 若0，则 ∴ 2.若不等式x2＋ax＋1(0对于一切x(（0，）成立，则a的取值范围是 （ ） A．0 B． –2 C．- D．-3 解析：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝,若(，即a(－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）(0(－(x(－1 若(0，即a(0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1(0恒成立，故a(0 若0((，即－1(a(0，则应有f（）＝恒成立，故－1(a(0． 综上，有－(a,故选C ． 恒成立与有解的区别 （1)不等式f(x)k在xI时恒成立( fmax(x)k，x∈I或f(x)的上界小于或等于k； （2)不等式f(x)k在xI时有解( fmin(x)k，x∈I 或f(x)的下界小于k； （3)不等式f(x)k在xI时恒成立( fmin(x)k，x∈I或f(x)的下界大于或等于k； （4)不等式f(x)k在xI时有解( fmax(x)k，x∈I或f(x)的上界大于k； （)等式f(x)k在xI时恒成立( （)等式f(x)k在xI时有解( （)等式f(x)在xI时恒成立( （)等式f(x)在xI时有解( 解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界)、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。 若在区间是增函数，求实数的取值范围。 解： ，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，故当时，在区间是增函数。 2. （07重庆理）已知函数在处取得极值，其中为常数． （Ⅰ）试确定的值； （Ⅱ）讨论函数的单调区间； （Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． .解：（I）由题意知，因此，从而． 又对求导得． 由题意，因此，解得． （II）由（I）知（），令，解得． 当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为． （III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需解得或． 所以的取值范围为 3.（2009江西卷文）设函数．，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．：, 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 4.（2009宁夏海南卷文）已知函数. 设，求函数的极值； 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围. 解析：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得2