第二节中心极限定理讲解.ppt

5.2. 中心极限定理一.依分布收敛 二.两个常用的中心极限定理 1、独立同分布中心极限定理 例1 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) 例2 例3 例4 知识点示意图 本节小结 * * 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 (Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 0，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于300的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 设随机变量 ?n (n=1, 2, ...)服从参数为n , p(0p1)的二项分布，则 证明:设 第i次试验中事件A发生 第i次试验中事件A不发生 则 由中心极限定理 , 结论得证 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000的概率不小于90%，赔偿金至多可设为多少？ 根据上述定理，当n充分大时 解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=10000?12-1000X 于是由中心极限定理 (1)P{Y0}=P{10000?12-1000X0} =1?P{X?120} ?1 ? ?(7.75)=0 P{Y60000}=P{10000?12-aX60000} =P{X?60000/a}?0.9; （2）设赔偿金为a元，则令 由中心极限定理,上式等价于 (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000的概率不小于90%，赔偿金至多可设为多少？ 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。 解： 设最多可装 n 箱，保障不超载的概率大于0.977。 由中心极限定理有 因此最多可装 98 箱，保障不超载的概率大于0.977。 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则 于是,检查1900件所花时间为 ,则在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为 检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间.假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率. 解法二: 设X为1900件产品中需复查的件数,Y为检查1900件产品所花时间,则 . 在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为 独立同分布 依 分 布 收 敛 德莫佛-拉普拉斯 中 心 极 限 定 理 内容：中心极限定理 满足一定条件的独立随机变量序列，前n项之和标准化后依分布收敛到标准正态分布。 独立同分布中心极限定理 德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 要求：用中心极限定理做前n项和的近似计算。 * * *