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《高等数学二》复习教程.doc
《高等数学二》复习教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质 函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续(左、右连续)与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法
A.极限的求法 (1)用定义求
(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)
(3)变量替换法
(4)两个重要极限法
(5)用夹逼定理和单调有界定理求
(6)等价无穷小量替换法
(7)洛必达法则与Taylor级数法
(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1.(等价小量与洛必达)
2.已知
解:
(洛必达)
3. (重要极限)
4.已知a、b为正常数,
解:令
(变量替换)
5.
解:令
(变量替换)
6.设连续,,求
(洛必达与微积分性质)
7.已知在x=0连续,求a
解:令 (连续性的概念)
三、补充习题(作业)
1. (洛必达)
2. (洛必达或Taylor)
3. (洛必达与微积分性质)
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求
1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)
会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图
会计算曲率(半径)
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定,求
2.决定,求
解:两边微分得x=0时,将x=0代入等式得y=1
3.决定,则 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。
解:
5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。
解:需求,等式取x-0的极限有:f(1)=0
C.导数应用问题 6.已知,
,求点的性质。
解:令,故为极小值点。
7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解:定义域
8.求函数的单调性与极值、渐进线。
解:, D.幂级数展开问题 9.
或:
10.求
解:
= E.不等式的证明 1设,
证:1)令
2)令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数,且,
,求证:在(-1,1)上存在一点
证:
其中
将x=1,x=-1代入有
两式相减:
13.,求证:
证:
令
令
(关键:构造函数)
三、补充习题(作业)
1.
2.曲线
3.
4.证明x0时
证:令
第三讲 不定积分与定积分
一、理论要求
1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)
会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部) 2.定积分 理解定积分的概念与性质
理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法
会求定积分、广义积分
会用定积分求几何问题(长、面、体)
会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值
二、题型与解法
A.积分计算 1.
2.
3.设,求
解:
4. B.积分性质 5.连续,,且,求并讨论在的连续性。
解:
6.
C.积分的应用 7.设在[0,1]连续,在(0,1)上,且,又与x=1,y=0所围面积S=2。求,且a=?时S绕x轴旋转体积最小。
解:
8.曲线,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。
解:切线绕x轴旋转的表面积为
曲线绕x轴旋转的表面积为
总表面积为
三、补充习题(作业)
1.
2.
3.
第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何
一、理论要求
1.向量代数 理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)
了解两个向量平行、垂直的条件
向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质
理解偏导数、全微分概念
能熟练求偏导数、全微分
熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值 4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法
会求平面、直线方程与点线距离、点面距离
二、题型与解法
A.求偏导、全微分 1.有二阶连续偏导,满足,求
解:
2.
3.,
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