“圆”在中考中的命题走向.doc

“圆”在中考中的命题走向 来源：《中小学数学》 比较原教材，有关圆的学习，无论从内容份量还是难度要求都发生了根本性的变化。《数学课程标准》在39、40页指出的圆的学习目标仅仅只有5项，以北师大版教材为例，其九年级下册第三章《圆》仅编排有13课时，占初中数学总课时的3.65%。随着圆与圆、直线与圆位置关系的弱化，弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理以及割线定理等一系列知识的退出，新教材中圆的知识结构发生了重大的改变。在中考卷中，这种变化体现为考核的重心前移，视角更新。 一、重心前移 教材中讲述的比较重要的定理，经过调整，现在仅剩下垂径定理、弧、弦、圆心角关系定理、圆周角和圆心角关系定理。这些定理都是圆中极其基础的知识，自身并不具有很强的纵深能力，因为内容删减之后仅余这三个“象样”点的知识，于是在中考试卷中逐渐地活跃起来，成为主导圆与其它知识综合的核心载体，典型手法是以选择、填空等客观性试题设计展现。 例1 ⑴（贵阳市）如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是 。 ⑵（江苏徐州）如图2，A、B、C是⊙O上的点，AB = 2㎝，∠ACB=30°，那么⊙O的半径为__________。 ⑶ （湖北宜昌市）如图3，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O与点F。 （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）按角的大小分类, 请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。 解答提示：⑴ 3≤OP≤5； ⑵ 2㎝ ； ⑶ AB=AC，有多种证明方法。可连OD用中位线，也可连AD用直径所对的圆周角是直角；锐角三角形，理由略。 点评：以上各小题立足圆的基本性质，注重基础，体现了试卷依纲靠本的命题指导思想，在各地的试卷中，有相当一部分就是这种风格的设计。 例2 （湖南长沙市）已知抛物线 经过点A（，0）、B（m，0）（m0），且与y轴交于点C． ⑴求a、b的值（用含m的式子表示）； ⑵如图4所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积 S（用含m的式子表示）。 解答提示：由A、B两点坐标可解得 ，可由 此得到抛物线的解析式为：；由C(0，)可知，所以，因为圆周角与圆心角的关系定理可得到。，所以。 点评：本题的第二问，以圆周角与圆心角的关系定理为依托，解决扇形部分的面积问题，关键是要探求发现∠BMC与∠BAC的联系。在中考卷中，也有一些是如此题一样建立在以上三个定理基础上的解答题型设计。 二、切线的证明渐行渐远 切线在原教材中作为圆的核心知识，具有很出色的连横纵深能力，前有圆的垂径定理，圆周角度数定理等等知识作为铺垫，后有弦切角、切线长定理、切割线定理等等作延伸，因此，证明圆的切线一向作为经典考查问题出现在考卷当中，然而如今在新教材里，切线张力有限，其证明可谓是“风光不再，魅力尽失”，英雄难有用武之地。 例3 （成都市）如图5，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB， （1）求证：DE是⊙O的切线。（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长。 解答提示：有点连线证垂直。DE与圆有共公点C，故连接OC，由半径OA与OC，以及角平分线AC可征AE∥OC，证得OC⊥DE；在第二问中，要注意根据AE、AB寻找相似三角形，以求AC，再由平行线可得到一些相关的比例式，求得BD=2，BC=。 例4 （青海省）如图6，己知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC，⑴ 求证：ED是⊙O的切线。⑵ 若∠C=30°，CD=10㎝，求⊙O的半径。 解答提示：连OD，运用三角形的中位线OD证OD∥AC，推得OD⊥DE。⑵ 连AD就可在△ABC中运用30°的特殊角来求得⊙O的半径为㎝。 点评：以上两例的第一小题都是切线的证明，证明思路方法较简单，给人感觉就是“象征性”的证明了一下，而且我们看到，例题中第1、2两小题 间并没有表现出一种递进的层次关系，例3第二问转为在相似形中研究比例线段问题，例4第二问转为研究特殊三角形边角关系，与第一小题都没有必然联系，由此可见，在新教材中，切线证明问题的拓展张力十分有限。 三、与相似形综合成为热点 圆的内容大幅度删减，导致圆与相似形综合的问题开始逐渐地活跃起来，并一跃成为主导圆与其它知识综合的热点，前面的例3第二问就表现出这一特点。 例5 （广西柳州市）如图7，直线l与⊙O相切于点D，弦BC∥l，与直线AD相交于点G，弦AF与BC交于点E，弦CF与AD交于点H， （1）求证：AC=AB； （2）如果AE=6，EF=2，求AC。 解答提示：（1）l与⊙