元二次方程的根与系数的关系.doc

元二次方程的根与系数的关系 [内容] 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理和它的逆定理) 教学目标 　　(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根 据： 　　(二)使学生会运用根与系数关系解题. 教学重点和难点 　　重点：根与系数关系的推导. 　　难点：根与系数关系的运用. 教学过程设计 (一)引言 我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a,b,c决 定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方 程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明. 　　（二）新课 　　从表格中找出两根之和x1+x2与两根之积x1·x2和a,b,c的关系： 　　1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关 系.(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项) 　　2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.(在把方 程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律) 　　3.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生化为x2+ 后，猜想)为x1+x2=-，x1x2=. 　　4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明 就可以了. 　　证明：设ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1,x2, 　　5.读课文P31第3行第4行的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象. 6.为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程” . 　　读课本P31第10至11行的黑体字. 　　如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1x2=q. 教师必须要求学生能用语言表达上述定理. “对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”.( 这个定理又叫做韦达定理) 　　7.再要求读课本P31的倒数第3行到倒第1行(也要求学生用语言表达此定理). 　　“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”.(这是韦达定理的逆定理) 　　例题讲解 　　例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 　　解：把方程两边都除以5，化为最简二次方程 　　 　　例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根的(1)平方和；(2)倒数和. 　　分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和 与两根之积.如查我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把 方程的系数代入，算出结果了. (2) 1 x1+1 x2=x1+x2 x1x2=(-3 2)÷(-1 2)=3. 　　 例3 求一个一元二次方程，使它的两根分别是 　　分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字； 　　“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之 积”. 　　例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数. 　　分析：我们可以用多种方法来解决这个问题. 　　解法1：设两个数中的一个为x,因为两数之和为8，所以另一个数为8-x. 　　再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8-x)=9. 　　 解法2：设两个数是x,y,可列出方程组这类方程组的解法，我们将在课本P61学到. 　　解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个是简化二次方程.x2-8x+9=0.这就是方法1得到的方程. 　　(三)课堂练习 　　1.已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= . 　　2.已知关于x的一元二次方程(k2-1)x2-(k+1)=0的两根互为倒数，则k的取值是( ). 　　3.已知方程x2+3x+k=0的两根之差为5，k= . 　　答案或提示 　　 　　(四)小结 　　1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式. 　　2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代 数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系. 　　3.已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号. 　　(五)作业 　　1.设方程3x2-5x+q=0的两根为x1和x2，且6x1+x2=0,那么q的值等