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一个简单非线性问题的求解 1、非线性概述 环顾一下身边的自然界，会惊奇的发现我们根本不能够找到任何一样形状笔直而又非人造的东西，我们顿悟：自然界的本质就是非线性，而以前所用的线性数学仅是对大自然真实的一种近似。非线性动力学的崛起，主要是在20世纪后半叶混沌运动的发现，目前其影响不仅涉及数学、力学、物理学也涉及了所有自然科学、工程技术和社会学的各个领域,成为一门极其重要的新学科。因此，研究非线性动力学中的混纯运动和分岔现象是非常重要的事情，它们帮助我们更深刻的认识自然界的非线性本质。 随着人类社会的进步,社会、工程系统越来越复杂,且整个受控系统往往呈现出复杂的非线性和不确定性,如飞行器控制系统、电力系统、水电站系统等。与之相矛盾的是人们不断期望提高系统的可靠性、安全性、且提高生产效率和经济效益。因此,对复杂的非线性系统，如何设计出不但要保证系统本身不确定性和外界扰动时快速稳定且获得较好控制性能；同时，也要保证系统发生故障时，在利益最大化的前提下，保持系统稳定,已成为当前控制理论与控制工程的主要研究热点和难点。 自从1963年美国气象学家Lorenz (1963)提出洛伦兹方程，并指出在三阶非线性系统中可能会出现混乱解。直到1975年,混沌(chaos)作为一个名词首次在科学文献中出现，它以前所未有的速度迅速发展成为有丰富的非线性物理背景和深刻数学内涵的现代科学。因此，著名物理学家J.Ford认为混纯是20世纪物理学第三次大革命（前两次是量子力学和相对论）。当然，理论发展到一定程度后，存在于自然界和工程中的混純现象及其发现显得更有实践意义。 综上所述,研究非线性动力学系统、动力学特征之间的内在联系、混沌运动特征等，并尝试改进或提出新的控制理论和控制方法来控制一类非线性系统，这是一个既有理论研究价值又具有工程实践意义的科学问题。 2、问题的简单描述 奇点是相平面上速度以及加速度都为零的点。在奇点上，因为速度，同时加速度，所以有 。 所以，奇点是相平面上的平衡点。在相平面上，除了奇点以外的点都是寻常点，根据奇点的形态又可以分为中心点、焦点、节点以及鞍点。 比如，一个系统的运动方程为 ， 试求它的奇点。 3、问题求解 由运动方程可以知道， 。 1）、当时，满足 ， 所以可以知道，点（0,0）为奇点。方程的解为： 。 2）、当时，由积分，可以得到： 。 ①、当时，在时，。此时我们借助matlab软件画出它的图形（如图a，此时选取，分别取）。 由图a可以看出，出y轴之外的所有积分都是沿着x轴趋近奇点的，而且极限方向都是x轴，所以认为点（0,0）是节点，而且是稳定的节点。 ②、当时，也是抛物线，在时，。此时我们借助matlab软件画出它的图形（如图b，此时选取，分别取）。 由图b可以看出，出x轴之外的所有积分都是沿着y轴趋近奇点的，而且极限方向都是y轴，所以也认为点（0,0）是节点，而且是稳定的节点。 ③、当时，是射线，。此时我们借助matlab软件画出它的图形（如图c，此时选取，分别取）。 显然，由图d可以看出，此时的点（0,0）是一个稳定的节点。 ④、当时，是双曲线，此时我们借助matlab软件画出它的图形（如图d，此时选取，分别取）。 由图d可以看出，点（0,0）已经是鞍点，而且是不稳定的。 4、matlab编程计算 1）、当（）时，编程如下： x=(-2:0.05:2); t=-3:2:3; y=abs(x).^2*t; plot(x,y) 2）、当（）时，编程如下： x=(-2:0.05:2); t=-3:2:3; y=abs(x).^0.5*t; plot(x,y) 3）、当时，编程如下： x=(-2:0.05:2); t=-3:6:3; y=abs(x).^1*t; plot(x,y) 4）、当时，编程如下： x=(-2:0.05:2); t=-3:2:3; y=abs(x).^（-1）*t; plot(x,y) 5、小结 非线性动力学是涉及力学、数学、物理科学、机械工程乃至控制工程和电气工程等众多学科的新兴交叉学科，也是分析复杂系统稳定性的重要工具学科。所以我们要继续新的非线性动力学系统的研究，提出有特征的动力学系统，同时，还要探究非线性动力学特征的彼此联系和新现象，进一步地探讨混沌的同步与控制理论。 1