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1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 (1) (2) (3) 1 2 3 4 (4) 竞赛图的3种形式 具有唯一的完全路径，如(1)； 双向连通图——任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)； 其他，如(2)， (3) 。 竞赛图的性质 必存在完全路径； 若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1) 。 1 2 3 4 (4) 双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序 邻接矩阵 得分向量 双向连通竞赛图的名次排序 对于n(3)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵 素阵A的最大特征根为正单根?，对应正特征向量s，且 排名为{1，2，4，3} 用s排名 1 2 3 4 (4) {1, 2, 3, 4}? 1 2 3 4 5 6 6支球队比赛结果 排名次序为{1，3， 2，5，4，6} 3 效益的合理分配 例 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元， 甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元， 三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。 问三人合作时如何分配获利？ 记甲乙丙三人分配为 解不唯一 (5，3，3) (4，4，3) (5，4，2) …… (1) Shapley合作对策 [ I,v] ~n人合作对策，v~特征函数 ~n人从v(I)得到的分配，满足 v(s)~ 子集s的获利 公理化方法 ?s?~子集 s中的元素数目， Si ~包含i的所有子集 ~由?s?决定的“贡献”的权重 Shapley值 ~ i 对合作s 的“贡献” Shapley合作对策 三人(I={1,2,3})经商中甲的分配x1的计算 1/3 1/6 1/6 1/3 1 1 2 1 3 I 1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3 x1=13/3 类似可得 x2=23/6, x3=17/6 1 2 2 3 合作对策的应用 例1 污水处理费用的合理分担 20km 38km 河流 三城镇地理位置示意图 1 2 3 污水处理，排入河流 三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇) Q1=5 Q3=5 Q2=3 Q~污水量，L~管道长度 建厂费用P1=73Q0.712 管道费用P2=0.66Q0.51L 污水处理的5 种方案 1）单独建厂 总投资 2）1, 2合作 3）2, 3合作 4）1, 3合作 总投资 总投资 合作不会实现 5）三城合作总投资 D5最小, 应联合建厂 建厂费：d1=73?(5+3+5)0.712=453 1?2管道费：d2=0.66 ?50.51 ?20=30 2?3管道费：d3=0.66 ?(5+3)0.51 ?38=73 D5 城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负 城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负 城1计算：城3分担d1?5/13=174C(3), 城2分担d1?3/13+d3 ?3/8 =132C(2), 城1分担d1?5/13+d3 ?5/8+ d2 =250C(1) 不同意 D5如何分担？ 特征函数v(s)~联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资 ~三城从节约投资v(I)中得到的分配 Shapley合作对策 计算城1从节约投资中得到的分配x1 1 1 2 1 3 I 0 40 0 64 0 0 0