数字信号处理时域离散随机信号处理丁玉美第章.pptVIP

2) 前向线性预测滤波器fM(n) 设定前向线性预测滤波器的权向量fM(n)=［f1(n), f2(n), …, fM(n)］T，输入信号为x(n)=［x(n-1), x(n-2), …, x(n-M)］T,通过前向线性预测滤波器fM(n)的输出为 ,n时刻的前向预测误差向量为ef(n|n)=［ef(1|n), ef(2|n), …,ef(n|n)］T，根据3.4.4节的分析结果，得到在最小二乘的意义下，fM(n)的最佳解和最佳估计向量 分别为 (3.4.108) (3.4.109) 其中 (3.4.110) (3.4.111) 最佳预测误差向量ef［n|n］和n时刻的最佳预测误差ef(n|n): ? (3.4.112) (3.4.113) 根据前向线性预测滤波器的输入输出关系，n时刻的前向线性预测误差ef(n|n)也可以写成 (3.4.114) 这里 前向预测误差能量 (3.4.115) 3) 后向线性预测滤波器bM(n) 设定后向线性预测滤波器的权向量bM(n)=［b1(n), b2(n), …, bM(n)］T，输入信号为x(n-M)=［x(n-1), x(n-2), …, x(n-M)］T， 通过后向线性预测滤波器bM(n)的输出为 ，eb(n|n)表示根据n时刻的后向线性预测滤波器的权向量bM(n)估计所测得的误差向量，且eb(n|n)=［eb(1|n), eb(2|n), …,eb(n|n)］T。eb(n|n-1)表示根据n-1时刻的后向线性预测滤波器的权向量bM(n-1)估计所得的误差向量，那么 (3.4.116a) (3.4.116b) 同理，推导得到在最小二乘意义下，bM(n)的最佳解和最佳估计 分别为 (3.4.117) (3.4.118) 其中 (3.4.119) 最佳预测误差向量eb(n|n), eb(n|n-1)和n时刻的最佳预测误差eb(n|n)为 后向预测误差能量为 (3.4.122) 4) 增益滤波器gM(n) 增益滤波器，更确切地讲是关于角参量的滤波器，当时间从n-1变为n时，数据矩阵所张成的空间发生了变化，这个变化的实质是空间的角度发生了变化，转角的大小可以用该空间的投影矩阵的变化来描述，如图 3.4.9 所示。图中所示的数据空间为一维的情况，即x(n)=x(n)。 计算π(n)在x(n)上的投影。设定投影算子为Px(n)，投影所得为Px(n)π(n)。因为投影在x(n)上，所以可写成g(n)x(n)，g(n)表示增益系数， 即 x(n)g(n)=Px(n)π(n) (3.4.123) 图 3.4.9 单一系数情况下最佳LS增益滤波器的构造 推广到M维情况，用gM(n)表示增益向量，可以得到 (3.4.124) 在(3.4.121)式两边同时左乘 (3.4.125) 在n-1时刻，得到 (3.4.126) 下面证明 证明 将(3.4.58)式代入横向滤波算子的展开式中 将内积逆的计算，放入矩阵当中 其中， 为π(n)对x(n)的正交投影。图 3.4.5 画出了子空间{x(n), π(n)}，图中i,j是该子空间的正交单位矢量。 这里θ为矢量x(2)和x(3)之间的夹角，可以看出 计算得到 (3.4.67) 当子空间｛U(n-1)｝变成子空间｛U(n)｝时，子空间转了一个角度θ，角参量γU(n)就是这个角度大小的度量，也是γU(n)的名称的含义。令 则 θ为子空间{X0,M-1(n-1)}变成{X0,M-1(n)}时的转角。并且，将 展开，利用(3.4.58)式，可以证明 (3.4.68) 图 3.4.5 子空间中最小二乘参量的角度关系 3.4.4 最小二乘格型算法(LSL) 1. 用向量空间法描述前后向线性预测滤波器 已知n个数据组成输入向量x(n)=［x(1), x(2), …, x(n)］T， 送入M个权的前向预测滤波器，其权向量为  ，前向预测估计为 ， 如图 3.4.6 所示。 由线性系统的基本理论 (3.4.69) 图 3.4.6 LS前向线性预测滤波器 应用(3.4.17)式，得到在最小二乘意义下的 的最佳解和最佳前向预测向量 ， 即 (3.4.70) 用P1,M(n)表示输入数据矩阵张成的空间｛X1,M(n)｝的投影矩阵， (3.4.71) 最佳估计可以表示为 (3.4.72) n时刻的前向预测误差向量  和前向预测误差