数理方程第二章分离变量法.pptVIP

若 则u为多少？为什么会出现这样的现象？ 思考 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 若 分离变量流程图 三 拉普拉斯方程的定解问题 1 直角坐标系下的拉普拉斯问题 解： 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 例7 求下列定解问题 解： 由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 例8 求下列定解问题 解： 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 2 圆域内的拉普拉斯问题 例9 求下列定解问题 解： （自然边界条件） （周期性边界条件） 周期特征值问题 (欧拉方程) 令 周期特征值问题 故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为 （由自然边界条件） （由自然边界条件） 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 例10 求下列定解问题 解： （周期性边界条件） 周期特征值问题 欧拉方程 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 其他为零 例11 求下列定解问题 解： 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 （自然边界条件） （由自然边界条件） 例11 求解下列二维热传导方程的定解问题 解： 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 例12 求下列热传导方程的定解问题 解法一：令 解法二：令 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 常用特征值问题 周期特征值问题 四 非齐次方程的解法 求下列定解问题 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？ 思考 由线性方程的叠加原理，令： 数学物理方程与特殊函数 第2章分离变量法 第二章 分离变量法 一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论 基本思想： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。 适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等 特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 一、有界弦的自由振动 令 代入方程： 令 代入边界条件 1、 求两端固定的弦自由振动的规律 特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题 特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： 1） 2） 3） 令 ， 为非零实数 ?分离变量 ?求特征值和特征函数 ?求另一个函数 ?求通解 ?确定常数 分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 2 解的性质 x=x0时： 其中： 驻波法 t=t0时： 例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。 解： 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 解： 例2求下列定解问题 初始条件 例3 求下列定解问题 解： 由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特故原问题的解为 例4 求下列定解问题 令 代入方程： 解： 于是得到一系列分离变量形式的特解 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为 二 有限长杆上的热传导 令 带入方程： 解： 由