概率论与数理统计经典课件概率论.pptVIP

概率论与数理统计 概 率 论 第三章 多维随机变量及其分布 关键词： 二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度 §1 二维随机变量 问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。 定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义 在S上的随机变量，由它们构成的 向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。 分布函数 的性质 二维离散型随机变量 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。 分布律的性质 例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。 二维连续型随机变量 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解： §2 边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数。 对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为 对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度 解： §3 条件分布 正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为： 我们也可以考虑条件概率 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 对于固定的yj， 例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布率； （2）X=1时Y的条件分布率； (3) Y=0时X的条件分布率。 故在X=1的条件下，Y的分布律为： 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。 解： 定义：条件分布函数 定义：条件概率密度 由定义： 例3：设二维随机变量(X,Y)在区域{(x,y): ?y ? x1} 内均匀分布，求条件概率密度 §4 相互独立的随机变量 例1：§1例2中X和Y 是否相互独立？(X,Y)具有概率密度 一般n维随机变量的一些概念和结果 边缘分布 如： 相互独立 定理1： 定理2： §5 两个随机变量的函数的分布 例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 例2：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。 例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。 一般的，可以证明： 若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为 证明：这是例3的推广，由卷积公式 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则： 例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结