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应用最小二乘法（令 最小）对一组采样信号进行数据拟合，得到时序模型的参数 和 。当设备的状态发生变化（出现故障或工况发生变化）时，表征系统状态的模型参数也必然随之变化。 （4）应用时序分析进行故障诊断的方法 因此，可将时序模型的参数作为特征值，对设备的故障进行诊断。 下图为 随时间变化的情况，在第15天时设备出现了故障，引起 值的大幅度下降。 用模型参数 作为故障检测的特征量。 0.005 0 0.010 0.015 天 4 8 12 16 20 24 例如：在核反应堆的运行中应用中子流的通量x 监视其工作状况。每次燃料循环（寿命）为23天，每天采集一组数据，采样长度50s ，采样间隔0.05s。应用这些数据建立了AR(1)模型 四、时序模型的谱密度函数 时序模型的谱是时序模型经过频域变换得到的一种功率谱密度函数。时序模型谱反映了一个时间序列在频域中的组合情况，它是诊断设备故障非常有效的工具。 传统的傅里叶谱： 模型的功率谱： 时序模型的功率谱 时序模型 特征信号 传统的傅里叶功率谱 自相关函数 特征信号 加窗截取 谱线泄露 3.6 卷积 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它成为沟通时 - 频域关系的一个重要桥梁。 一、卷积积分的定义 函数 与 的卷积积分定义为 或 利用卷积运算，描述线性定常系统的输入与输出的关系，在物理概念上是十分清楚的，即系统的输出 是任意输入 与系统脉冲响应函数 的卷积。 信号 可以表示为许多宽度为 的窄条面积之和， 时的第 个窄条高度为 ，在 的情况下，窄条可以看成是强度等于窄条面积的脉冲。 上述卷积的运算过程可概括为以下三个内容： 如果已知系统的单位脉冲相应 ，根据线性系统的齐次性与时不变性，在 时刻，窄条脉冲引起的响应为 。 根据线性系统的叠加性，由所有脉冲分量引起的响应是许多窄条脉冲相应之和，即 当 时，离散和变为积分，并令 ，则有积分式 如果 二、时域卷积定理 证明： 则有 ， 上式称为时域卷积定理公式，它说明两频域两函数的乘积等效于时间函数的卷积。 如果 三、频域卷积定理 或 则有 ， 上式称为频域卷积定理公式，它说明两时间函数的频谱的卷积等效于时域两函数的乘积。 第三章 习题 一、填空题 1、信号的自相关函数 在 处取得最大值；如果 有一周期分量，则自相关函数 有 。 2、倒频谱（Cepstrum）分析也称为二次频谱分析，是近代信号处理科学中的一项新技术，是检测复杂谱图中周期分量的有用工具。在语言分析中语音音调的测定、机械振动中故障监测和诊断等方面均得到广泛的应用。倒频谱在工程中的数学描述为 。 二、已知信号 试用傅里叶级数展开式求其复数形式的幅值谱与相位谱。 三、已知信号 试绘图表示： 1）傅里叶级数实数形式的幅值谱、相位谱； 2）功率谱密度。 * * * 在实际工作中常用谱密度的幅值和相位来表示 其中：幅值为 ； 相位为 ； 显然互谱表示了幅值以及两个信号之间的相位关系。需要指出互谱密度不像自谱密度那样具有功率的物理含义，引入互谱的概念是为了能在频域描述两个平稳随机过程的相关性。 利用互谱密度函数可以定义相干函数 （3）相干函数 相干函数又称凝聚函数，它类似于时域相关系数 ，因此又可称 为谱相关函数。同理可以证明 相干函数是谱相关分析的重要参数，特别是在系统辨识中，利用相干函数可以判明输出 与输入 之间的关系：当 时说明 与 完全相关；当 时，表明测量过程中有噪声干扰，或可能存在系统的非线性等。 频率响应函数定义为互谱与自谱的比值 （4）频率响应函数 频率响应函数是一个复量，保留了幅值与相位信息，描述了系统的频率特性。对 作逆傅里叶变换，即可求得系统时域特性的单位脉冲相应函数 即： 3.5 信号的时序分析 对一个平稳的随机信号 采样后可得到一个离散时间序列 一、信号的时序模型 为了研究信号的时间序列的变化规律，需要建立相应的数学模型，这种模型就称为时序模型。 对于平稳随机信号的时间序列 ，可以建立一个线性的时序模型，即 式中： 为自回归参数， 为滑动平均参数， 为 时刻的白噪声输入， 这种形式的