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?项目名称： 芬斯勒几何中的比较定理与子流形 推荐奖种：自然科学奖 推荐单位：福建省教育厅 项目简介： 本项目主要研究芬斯勒几何中的比较定理及其应用与芬斯勒子流形几何学。研究工作紧扣国际国内前沿研究热点，研究水平达到国际领先水平，得到国内几何学权威专家张伟平院士等人的充分肯定，被评价为“表现出了很高的原创性，具有重要的学术意义”。 本项研究成果及后续研究得到3项国家自然科学基金(其中2项主持)、2项省自然科学基金(主持)等基金的资助。共发表学术论文30篇(其中28篇系独立完成)，其中SCI收录18篇；出版学术著作1部。发表的论文被他人引用60多次, 其中8篇代表作的google学术的他引已达54次，SCIE他引次数已达26次，其中2007年发表在Math Ann上的文章《Comparison theorems in Finsler geometry and their applications》的google学术他引总数与SCIE他引总数已分别达到25次及11次。 成果主要内容： 1. 建立芬斯勒流形上的比较定理，得到若干重要应用。重新定义函数Hessian的概念（见代表性论著[1]），它的优点是此时函数的Hessian成为双线性对称形式，便于利用对称矩阵理论进行分析；引入了极大体积与极小体积（统称极值体积）的概念（见代表性论著[5]），简化了体积比较定理的条件。以上两点是本成果在研究方法上的重大创新；建立了Hessian比较定理与Laplace比较定理，建立一般体积形式的比较定理；对芬斯勒流形上的体积形式作了统一处理，为进一步用比较几何技巧研究芬斯勒几何奠定了重要的基础。得到了比较定理的若干重要应用：完备非紧芬斯勒流形的第一特征值的下界估计（McKean型不等式）；完备负旗曲率芬斯勒流形的基本群的增长阶估计，等等（见代表性论著[1,5,8]）。 2. 创立了一般体积形式下的芬斯勒子流形几何学。考虑一般的芬斯勒体积形式，首次提出一般芬斯勒体积形式的新的抽象定义，首次建立并发展了关于一般芬斯勒体积形式的子流形几何学，关于一般芬斯勒体积形式引入了平均曲率及极小子流形等的概念（见代表性论著[2]），为芬斯勒子流形几何研究奠定了理论基础。在所建立的新的子流形几何理论框架基础上，得到了三维Randers型Minkowski空间中关于Busemann-Hausdorff体积形式与Holmes-Thompson体积形式都是极小的连通曲面的局部分类，它同时也给出了芬斯勒极小曲面的新的例子（见代表性论著[4]）；研究了Minkowski空间中紧致子流形的第一特征值的上界，将经典的Reilly型不等式推广到芬斯勒几何。 3. 发现了芬斯勒流形新的刚性性质。研究芬斯勒流形的刚性性质，发现利用齐次函数的测地微分及Ricci恒等式，可对芬斯勒流形的刚性性质作统一处理。首先考虑弱Landsberg流形，证明对于闭的具有负旗曲率的芬斯勒流形，若它是弱Landsberg流形或者具有截面旗曲率，则它一定是黎曼流形（见代表性论著[6]）；其次考虑芬斯勒流形的切丛几何，从切丛几何观点给出了芬斯勒流形是黎曼流形的等价条件，并证明其切丛局部对称当且仅当底流形是局部欧几里德空间（见代表性论著[3]）；我们也研究了局部对称芬斯勒流形的刚性，给出了局部对称芬斯勒流形的等价条件，在此基础上证明任何旗曲率恒不为零的局部对称芬斯勒流形一定是黎曼流形。本成果的刚性定理对于深刻理解芬斯勒流形的刚性性质具有重要意义。 4. 建立了具有常（高阶）平均曲率超曲面的显式表达式及其刚性性质。作为对芬斯勒子流形几何相关研究的支撑，建立了球面中具两个主曲率及常高阶平均曲率的超曲面浸入的显式表达式，彻底解决了超曲面的结构与分类问题（见代表性论著[7]）。类似方法可以应用于其它外围空间及伪黎曼空间形式中的类空超曲面，得到相关超曲面的显式表达式，并可讨论其刚性性质。 本成果对芬斯勒几何的比较定理作了全面系统的研究，改进已有的结果并得到许多全新的结论，极大地丰富了现代微分几何理论的内容，尤其在整体芬斯勒几何的若干基础性工作，如比较定理、子流形几何学等，具有重要的学术价值，已成为相关研究重要成果之一，也为进一步研究整体芬斯勒几何以及芬斯勒子流形几何研究打下坚实的基础。本成果具有很高的原创性与先进性，后续研究前景广阔。 主要完成单位：闽江学院 主要完成人及其贡献：本项目系闽江学院自选项目，由吴炳烨教授独立完成，项目共发表学术论文30篇(其中28篇系独立完成)，出版学术专著1部。 代表性论文专著目录： [1] Wu Bingye and Xin Yuanlong, Comparison theorems in Finsler geometry and their applications, Mathe