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精彩世界杯中的数学奥秘 安徽省蚌埠第二中学 孙立群 张骏琦 233000 足球运动被誉为当今世界第一体育运动，备受世人瞩目的四年一度的世界杯足球赛，目前正在韩日如火如荼地进行着。一些种子队在小组赛中已被淘汰，“黑马”不断涌现，世界足球的格局逐渐发生变化。通常情况下，人们在观看足球比赛时，主要欣赏运动员激烈地对抗、娴熟的脚法、绝妙的配合、准确地射门。本文试图从数学的角度探讨世界杯足球赛中的几个问题。 材料一：按照世界杯足球赛小组赛的规则，每个小组4个队进行单循环比赛，每个队有3场比赛，小组共有6场比赛。每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分。小组赛结束后，积分最高的两队出线。如果积分相同，则净胜球多的球队胜出。 问题：积几分小组肯定出线或基本出线？ 分析：假设每场比赛的胜、平、负出现的概率相同，都为。 首先，积7分肯定出线。因为每场比赛后二队得分之和或者为2分（即打平），或者为3分（有胜负）。所以小组6场比赛后各队的积分总和不超过18分。如果一支球队积7分，剩下的3个队得分总和不会超过11分，不可能再有两支球队的积分大于或等于7分，所以这支球队一定出线。 其次，积6分或5分也基本出线。因为，如果一支球队积6分，一般情况下是会出线的。只有在三支球队同积6分，一支球队积0分的情况下，有一支积6分的球队才会被淘汰。设A胜B、C，负D，D不可能积0分，只有B、C可能积0分，共二种情况，条件概率为。三队同积6分，A队名列第三的可能性为，所以，A队名列第三的条件概率为，即积6分出线的概率为。同理积5分出线的概率也为。 最后，积4分或3分也有出线的可能（限于篇幅，在此省略）。不过积2分或1分或0分的都不可能出线。 以上是球队积分对应能否出线的理论分析，这个分析没有考虑球队的实力。 材料二：以往的足球多数是由黑、白两色皮粘合或缝制成的多面体加工而成的.其中黑块皮为正五边形，白块皮为正六边形.表面之间具有下列特征：⑴黑块皮周围都是白块皮；⑵每两个相邻的正多边形恰好有一条公共边；⑶每个顶点都是相邻三块皮的公共边，且为一黑二白（如图一所示）。 随着科技的发展、足球运动水平的提高及人们审美观的改变，足球在皮革材料的选取、制作方法等都得到了大幅的改进。如本届世界杯比赛的“飞火流星”(FEVERNOVA)足球就是使用了必威体育精装版科技制造的足球，该球表面采用蜂窝泡沫设计， 使足球重量减轻，飞行更加快速，表面的涂层在光线的照射下会出现淡淡的金色，使足球成为真正的艺术品。但同时我们发现，其表面的正五边形和正六边形的结构特征却始终如一。 问题：⑴正五边形和正六边形的个数；⑵球体与正多面体的关系。 分析：⑴简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系（欧拉定理）。假设正五、六边形各有、个，则面数。由于每条棱均为二个面的交线，棱数，而每个顶点均为三个面的公共点，顶点数。由欧拉定理，有 ①。又因为每个正六边形的六条边中有三条边与正五边形相连，剩余三条边与正六边形相接，故 ②。解①、②可得、，即正五边形有12个，正六边形有20个。此时，面数为32，顶点数为60，棱边数为90。 ⑵每个面都是由相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体称为正多面体。利用欧拉定理可以证明，正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。经过计算，上述五种正多面体的顶点数均不是60，因此，都不是足球表面的结构。要想得到有60个顶点的多面体，可以采用把正多面体的顶角截下来的办法。因为在截角时，每截下来原来的一个顶角，便会产生更多的顶角。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，可以实现这样的设想。在每个顶点的棱边的处将顶角截去，由于正二十面体有12个顶角，削去这12个顶角后，可使这12个平截的地方变成12个五边形，且剩下的面全变成六边形（一共有20个），最后得到的将是一个由12个五边形和20个六边形组成的三十二面体。它的顶点数为60，棱边数为90，面数为32，此为足球表面的多面体结构（如图二所示）。 12个正五边形和20个正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面，象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚到一起，共同交流文化、切磋球技、展示风采，并借此促进足球运动、足球文化、足球经济的不断发展，足球在运动员脚下创造了无数个奇迹。 材料三：韩日世界杯足球赛开赛之前，甲、乙两个世界杯吉祥物推销商，每次在同一地点同价出售吉祥物（随着时间的不同，吉祥物的价格可能不同）。他们在开赛前两个月、一个月、开赛前一天各推销了三次，甲每次卖出吉祥物500个，乙每次卖出吉祥物所得款为500美元。现规定谁平均每个吉祥物卖出的所得款多，谁的销售方式就好。 问题：甲、乙两人谁的销售方式好？ 分析：设三次推销吉祥物的单价分别为a、b、c，则甲、乙平均每个吉